解析函数的几何性质

2.4.1 保角映射

解析函数可以用几种等价的方式来定义。从几何的角度来看，解析函数的定义特征是它们保持角度的性质。现在将详细研究这一性质。

设 $\zeta =f(z)$ 是一个解析函数，并且假设在其定义域的某个点 $z_0$ 处有 。那么，根据前一节的第三定理，函数 $f(z)$ 提供了从 $z_0$ 的邻域到其像点 ${\zeta }_0=f(z_0)$ 的邻域的连续一一映射。现在考虑任意一条通过 $z_0$ 的光滑曲线 $C$ ，并设 $C$ 由可微函数的参数形式 $$x=x(t);y=y(t)$$ 或等价地由 $$z(t)=x(t)+iy(t)$$ 描述，其中 $z_0=z(t_0)$ 。曲线在点 $z_0$ 处的方向角是曲线在 $z_0$ 处的切线与实轴所成的角 $\theta$ 。因此 并且如果我们记 $$\dot{z}(t_0)=\dot{x}(t_0)+i\dot{y}(t_0)$$ 则有  

在 ${\zeta }_0$ 的邻域内，$C$ 的像是一条曲线 我们推得 因此曲线 在 ${\zeta }_0=f(z_0)$ 处的方向角为 现在考虑两条曲线 $z_1(t)$ 和 $z_2(t)$ ，它们在 $z_0$ 处交成角 $\alpha$ ，并看看它们的像曲线 ${\zeta }_1(t)$ 和 ${\zeta }_2(t)$ 在 ${\zeta }_0$ 处的交角 $\beta$ 可以怎么表达。由 (4.11) 我们有 并由 (4.12) 我们已经证明，对于任何满足 的点，两条曲线之间的夹角及其方向保持不变。这样的映射称为 保角映射。在导数消失的点处会发生什么，将在后面的章节中讨论。

这个映射性质足以定义解析函数。更准确地说，如果一个函数 $𝜻\mathbf{=}𝒇\mathbf{(}𝒛\mathbf{)}$ 在某个区域 $𝑫$ 上定义了一个一一的保角映射，且其实部和虚部在 $𝒙$ 和 $𝒚$ 上都是可微函数，那么 $𝒇\mathbf{(}𝒛\mathbf{)}$ 在 $𝑫$ 内是解析的。为了证明，考虑区域 $D$ 中通过给定点 $z$ 的任意两条曲线 $y=y_1(x)$ 和 $y=y_2(x)$ 。它们相交的角 $\alpha$ 满足 这些曲线将被映射 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 映成曲线 $$\{\begin{array}{l}{u}_1=u(x,y_1(x));\\ v_1=v(x,y_1(x));\end{array}\{\begin{array}{l}{u}_2=u(x,y_2(x))\\ v_2=v(x,y_2(x)).\end{array}$$ 根据我们的假设 $$\tan \alpha =\frac{\frac{d{v}_2}{d{u}_2}-\frac{d{v}_1}{d{u}_1}}{1+\frac{d{v}_2}{d{u}_2}\frac{d{v}_1}{d{u}_1}}.$$ 因此，利用 和 $\frac{d{v}_2}{d{u}_2}$ 的类似表达式，我们得到 这个方程必须对 和 的所有值都成立。因此我们可以乘去分母，然后令对应项的系数相等。我们得到关系式 和 其中，根据我们的假设 $u_x{v}_y-u_y{v}_x\ne 0$ 。方程 (4.13) 可改写为 然后方程 (4.14) 就变成 $$v_y^2{\lambda }^2+u_y^2=\lambda (v_y^2+u_y^2)=u_y^2{\lambda }^2+v_y^2$$ 由此 或者 $$({\lambda }^2-2\lambda +1)(u_y^2+v_y^2)=0.$$ 因为第二个因子如果不为零就会使雅可比行列式消失，所以只能取 $\lambda =1$ 。由 (4.15) 我们得出 这就是熟知的柯西-黎曼方程，因此 $f(z)$ 实际上是一个解析函数。

因为映射保角，所以我们看到解析函数将充分小的三角形映射成几乎相似的图形。换句话说，点 $z_0$ 邻域的变换只是一个普通的放大，其常数因子只依赖于 $z_0$ 。为了验证这一点，考虑通过 $z_0$ 的曲线 $C$ 及其像 ，并用 $s$ 和 $\sigma$ 分别表示它们的弧长。那么 因此，任何通过 $z_0$ 的线元的长度都简单地被因子 所放大。解析函数的导数在任何趋近方向上都相同这一要求的意义现在应该十分清楚了。

2.4.2 映射 $𝒘\mathbf{=}{𝒛}^{𝒏}$ 

我们已经考虑了一般线性函数的映射性质。此后，解析函数的最简单例子是 $w=z^n$ ，其中 $n$ 是一个正整数。该函数在整个 $z$ 平面上可微，导数为 。由于除了原点外，到处都有 ，我们断定该映射除了可能在点 $z=0$ 外都是保角的。利用极坐标形式 $z=r{e}^{i\theta }$ 和 $w=\rho e^{i\varphi }$ （根据 (3.23) ）我们得到关系式 我们推断出，以原点为心的圆映射为以原点为心的圆，从原点发出的射线映射为从原点发出的射线。在关系式 $\varphi =n\theta$ 中，我们看到了映射的特殊性质。两条在原点相交的射线之间的夹角没有被保持，而是被乘了 $n$ 倍。换句话说，在原点处的映射不是保角的，而是把角度乘以 $n$ 。具有这一性质的点称为 一个 $𝒏\mathbf{-}\mathbf{1}$ 阶分支点。

圆 $r=\mathit{\text{const.}}$ 变成圆 $\rho =\mathit{\text{const.}}$ ，因此顶点在原点的扇形将被映射为圆心角为原来 $n$ 倍的扇形。特别地，函数 $w=z^n$ 为我们提供了将一个顶点角为 $\frac{\pi }{n}$ 的楔形区域内部保角地映射到整个上半平面的方法。

当我们试图考虑逆映射时，遇到了一个新的困难。除了原点，$w$ 平面上的一个点是 $z$ 平面上多个点的像。例如，$z$ 平面上的单位圆映射到 $w$ 平面的单位圆覆盖了 $n$ 次。一般地，对于 $w$ 平面上每个点 $w=\rho e^{i\varphi }\ne 0$ ，在 $z$ 平面上有 $n$ 个不同的点与之对应，这些点的 $r={\rho }^{1/n}$ 和 $\theta =\frac{\varphi +2k\pi }{n}$ ，$(k=0,1,\dots ,n-1)$ 。反函数 不是唯一确定的。事实上，对于每个 $w\ne 0$ ，可以为 $z$ 指定 $n$ 个不同的值。这样的对应关系称为 多值函数 ，在这个特定例子中是一个 $𝒏$ 值函数。除非上下文明确表示相反的意思，否则不加修饰的“函数”一词用来表示 单值 函数。

函数 (4.22) 的值以一种非常特殊的方式联系在一起。例如，如果我们在 $w$ 平面上取一个不包含原点的邻域，并且任意地将 $n$ 个可能值中的一个赋给内部任意一点，那么单纯由连续性的要求，该邻域其余部分的赋值就被完全且唯一地确定。通过这样特定的赋值方式，我们得到了 $w$ 平面部分区域的一个一一映射，尽管我们本可以用 $n$ 种方式进行。尽管如此，这种处理方式给我们以启示：我们可以像摸索一样，从一个邻域到另一个邻域将函数的值连接起来，并把这个过程中那些能保持函数连续的值关联在一起。按照这种方式，我们最终可能会带着一个与开始时不同的函数值回到同一点。我们处理这种情况时，就好像我们在另一张“叶”上，它覆盖了原来那张叶。因此，如果我们想象 $w$ 平面由 $n$ 张在原点有公共点并相互连接的覆盖叶组成，那么映射 $z=\sqrt[n]{w}$ 就可以视为一一映射。

从直观上看，这就是黎曼曲面的一般概念。它是一种曲面，使我们可以一对一地表示一个多值函数。通过这种方式，我们能够非常简单地处理许多在没有这一组织概念时难以解决的问题。我们来考察一个简单函数 $w=\sqrt{z}$ 的黎曼曲面。在映射 $w=z^2$ 中，$w$-平面上的任意射线 $\varphi ={\varphi }_0$ 是 $z$-平面上两条射线 $\theta =\frac{{\varphi }_0}{2}$ 和 $\theta =\frac{{\varphi }_0+2\pi }{2}$ 的像。我们从正实轴 $\varphi =0$ 开始，并将它与 $z$-平面的正实轴 $\theta =0$ 对应。当我们让 $\varphi$ 从 0 变化到 $2\pi$ 时，$\theta$ 从 $0$ 变化到 $\pi$。换句话说，当射线扫过整个 $w$-平面时，$z$-平面中相应的射线只扫过上半平面。由裂缝平面 组成的区域被一对一地映射到半平面 上。然而，边界的映射不是一对一的，因为正实轴 $\varphi =0$ 或 $\varphi =2\pi$ 对应于两条射线 $\theta =0$ 和 $\theta =\pi$。尽管如此，我们至少可以在形式上区分正实轴的表示 $\varphi =0$ 和 $\varphi =2\pi$，从而获得一种方便的方法来区分实轴上任意一点的黎曼曲面的两个叶。现在，如果我们在概念上继续在一个复制叶上考虑，其中 $\varphi$ 的范围从 $2\pi$ 到 $4\pi$，我们可以将映射扩展到 $z$-平面的下半平面。为了完成映射的图像，我们现在必须将两个 $w$-叶按照对应于 $z$-平面下半平面和上半平面连接的方式连接起来。也就是说，我们现在将第一叶中裂缝的下边缘与第二叶中裂缝的上边缘连接起来，因为它们都对应于角度 $\varphi =2\pi$ 并且应该等同起来。接下来，边缘 $\varphi =0$ 和 $\varphi =4\pi$ 应该相互连接，因为它们都对应于射线 $\theta =0$。这在不使曲面自交的情况下无法机械地实现，但这在这里无关紧要；抽象地构想这样一个模型并不困难。由此得到的曲面由两个相互叠加的复平面绕原点缠绕而成，这就是函数 $z=\sqrt{w}$ 的完整黎曼曲面。在这个曲面上，$z$ 被定义为 $w$ 的单值函数，因此通过 $z=\sqrt{w}$ 这个曲面被唯一地映射到 $z$-平面上。$\sqrt{w}$ 的两个不同的确定或“分支”在黎曼曲面的两个不同的叶上表示。点 $w=0$ 和 $w=\mathrm{\infty }$ 对于两个叶是公共的，并且在这两点上无法区分两个叶，它们被称为一阶分支点。我们可以补充说明，在这个讨论中正实轴并没有占据任何特殊位置。相反，我们本可以在 $w$-平面上沿任何连接两个分支点 $w=0$、$w=\mathrm{\infty }$ 的连续不自交曲线引入裂缝。

在 $w=z^n$ 的情况下如何操作是十分清楚的。我们将得到简单 $z$-平面到围绕原点缠绕的 $n$ 叶黎曼曲面的一一映射，在 $w=0$ 和 $w=\mathrm{\infty }$ 处有 $(n-1{)}^{\text{st}}$ 阶分支点。这就是 $\sqrt[n]{w}$ 的黎曼曲面。

研究在映射 $w=z^2$ 下 $z$-平面中的坐标线和在逆映射下 $w$-平面中的坐标线将发生什么是有趣的。令 $w=u+iv$ 和 $z=x+iy$，我们有 $$w=u+iv=x^2-y^2+2ixy$$ 或 $$u=x^2-y^2,v=2xy.$$ 因此，双曲线 被映射到直线 $u=c$ 上，所以该族双曲线的两个分支被映射到黎曼曲面的两个叶中的直线 $u=c$ 上。此外，由双曲线的每个分支所围成的区域（图中阴影部分）被映射到区域 。正交族 $2xy=c$，如可以直接验证或由映射的保形性推出，被映射到直线 $v=c$ 上。

对于坐标线 的像，我们有 $u=c^2-y^2$，$v=2cy$。这是 $w$-平面上的一族共焦抛物线，焦点在 $w=0$，顶点在 $w=c^2$。显然，每条这样的抛物线的外部（即不包括原点的区域）对应于半平面 。类似地，对于直线 $y=c$ 的像，我们得到正交抛物线族 $$u=x^2-c^2,v=2cx.$$ 它们的外部被映射到半平面 。同样地，$x=-c$ 和 $y=-c$ 的像与 $x=c$ 和 $y=c$ 的像相同。

练习

2.4.3 指数函数与对数

暂时我们忽略第2章的定义 (3.21) ，而用一种可能更自然的方式来定义指数函数 $e^z$。我们设 类似于实函数 $e^x$。容易验证对于所有有限的 $z$ 这个级数收敛（参见第1章 (2.22) ）。我们已经证明幂级数在其收敛圆内是解析的且可微。因此级数 (4.31) 定义了一个在整个 $z$-平面上解析的函数，并且如同实数情形 $$\frac{d}{dz}(e^z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{n-1}}{(n-1)!}=e^z.$$ 为了证明加法公式 对复数值也成立，我们将两个级数逐项相乘（级数是绝对收敛的）。我们有

但是，根据二项式定理，这正好是 $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}(z_1+z_2{)}^n=e^{(z_1+z_2)}$$ 这证明了我们的断言。

接下来，我们证明欧拉的一个重要恒等式，它将指数函数与三角函数联系起来。我们通过使用带有复变量的相应实函数的级数来定义函数 $\cos z$ 和 $\sin z$。因此，我们设 这些级数对所有有限值也收敛，因此表示整个平面上的解析函数。容易验证 $$\frac{d}{dz}\sin z=\cos z;\frac{d}{dz}\cos z=-\sin z.$$ 由于级数是绝对收敛的，我们可以写出 从而得到欧拉恒等式 由此和 (4.32) 我们得到 这证明了此定义与第2章 (3.21) 的等价性。此外，根据实三角函数的周期性，我们有 $$e^{z+2\pi i}=e^z$$ 或者说 $e^z$ 以 $2\pi i$ 为周期。

为了考察由指数函数 $w=e^z$ 定义的映射，我们用极坐标表达 $w$，$w=\rho e^{i\varphi }$，用直角坐标表达 $z$，$z=x+iy$。于是我们有 $$\rho =e^x;\varphi =y.$$ 由此可知，平行于实轴的直线 $y=c$ 被映射到射线 $\varphi =c$ 上，当 $x$ 从 $-\mathrm{\infty }$ 变化到 $\mathrm{\infty }$ 时，该射线从 $0$ 延伸到 $\mathrm{\infty }$。因此，$e^z$ 在 $\mathrm{\infty }$ 处的值未定义，因为我们已看到它依赖于趋近的方向。

让我们考虑直线 $x=\mathit{\text{常数}}=c$ 的情况。由于指数函数的周期性，我们可以局限于一个线段 $x=c$ 且 。显然，该线段将被映射到圆弧 $\rho =e^c$， 上。$z$-平面中由 $y=0$ 和 围成的水平带被映射到 $w$-平面中由射线 $\varphi =0$ 和 $\varphi =\alpha$ 围成的楔形区域。因此，一个宽度为 $2\pi$ 的带，即 ，被映射到整个 $w$-平面，但正实轴除外，正实轴构成了对应于边界线 $y=0$ 和 $y=2\pi$ 的区域的边界。换句话说，上述带的像是裂缝 $w$-平面，边缘 $\varphi =0$ 对应于边界线 $y=0$，边缘 $\varphi =2\pi$ 对应于边界线 $y=2\pi$。为了表示下一个水平带 的像，我们使用第二个叶，同样沿正实轴从 $0$ 到 $\mathrm{\infty }$ 剖开，其中 $\varphi$ 现在从 $2\pi$ 变化到 $4\pi$。现在，这两个叶沿着它们的边缘 $\varphi =2\pi$ 连接起来，该边缘对应于 $z$-平面中两个带的公共边界线 $y=2\pi$。在这个曲面上还留有两个自由边缘 $\varphi =0$ 和 $\varphi =4\pi$；进一步附加其他的裂缝叶来表示带 和 的像。通过继续这个过程，我们得到一个由无穷多叶组成的曲面，其边缘按照 $z$-平面中宽度为 $2\pi$ 的相邻水平带的顺序相关联。这样得到的曲面是函数 $$z=\log w,$$ 的黎曼曲面，它是 $w=e^z$ 的反函数。该曲面在 $0$ 和 $\mathrm{\infty }$ 处有无穷阶分支点，它使我们能通过一一映射定义无穷多值的对数。因为，我们有 $$z=x+iy=\log w$$ 从而 $$x=\log \rho ;y=\varphi$$ 其中，在简单 $w$-平面中，$\varphi$ 仅被定义到相差 $2\pi$ 的整数倍。对数有无穷多个确定值 $$\log w=\log |w|+i(\mathrm{am}(w)\pm 2\pi n).$$ 然而，在黎曼曲面上，$\mathrm{am}(w)\pm 2\pi n=\varphi$ 是唯一确定的（相邻叶上对应点的幅角相差 $2\pi$），并且函数 $\log w$ 被唯一地定义。最后我们提及对数的特定确定值 $$\log w=\log |w|+i\mathrm{am}(w)$$ 其中 ，被称为对数的主值。

我们应当指出，如果设点$w$在$w$平面上描绘一条不围绕原点$w=0$的简单闭曲线，那么当$w$回到曲线上起点时，$\log w$恢复其初值；而如果$w$描绘一条围绕原点的简单闭曲线，则$\log w$的值将改变$\pm 2\pi i$，其符号取决于曲线是按正向还是负向旋转。

借助对数，现在可以对任意复数$\alpha$的函数$w=z^{\alpha }$给出唯一的定义。为简单起见，我们取$\alpha$为实数且为正。我们设$$w=z^{\alpha }=e^{\log z^{\alpha }}=e^{\alpha \log z}$$ 其中$\log z$不被看作是在$z$平面内，而是在其黎曼曲面上，在那里它是位置的单值函数。由此可知，函数$w=e^{\alpha \log z}$在$\log z$的黎曼曲面上也是单值函数。进一步，由指数函数的周期性以及$\log z$在黎曼曲面相邻叶的对应点处其值改变$2\pi i$这一事实，可知若$\alpha$是有理数，例如$\alpha =\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$是互质的整数，则当$\mathrm{am}(z)$增加$2\pi q$时，$w$回到其初值。于是，对于$w=z^{p/q}$的唯一表示，只需考虑一个仅有$q$叶的黎曼曲面，事实上就是$\sqrt[q]{z}$的黎曼曲面。此外，这个黎曼曲面并非一对一地映射到简单的$w$平面上。事实上，通过写出$w={\left(z^{1/q}\right)}^p$，可以容易地看出，该函数将上述黎曼曲面映射到位于$w$平面上属于函数$\sqrt[p]{w}$的一个黎曼曲面。函数$w=z^{p/q}$正是在这两个黎曼曲面之间建立了一一且共形的对应。

作为不同函数及其映射性质的一个应用，我们来把$z$平面内由两条圆弧围成且夹角为$\pi /\alpha$的透镜形区域映射到$w$平面内的单位圆上。为此，我们先对$z$平面施加一个线性变换，将点$z=-1$映射到原点，点$z=+1$映射到无穷远点。这可通过$w_1=\frac{1+z}{1-z}$实现。显然，该函数将透镜形区域映射为$w_1$平面内以$w_1=0$为顶点、中心角为$\pi /\alpha$的楔形区域。从楔形区域到单位圆的转换，可简单地将楔形区域先映射到半平面，再将半平面映射到单位圆。为此，我们引入函数$w_2=w_1^{\alpha }=(\frac{1+z}{1-z}{)}^{\alpha }$，它将楔形区域映射到右半平面。将$w_2$平面旋转$\frac{\pi }{2}$，楔形区域便被映射到上半平面：$w_3=e^{i\pi /2}{w}_2$。对此，我们再应用将上半平面映为单位圆的变换：$w=e^{i\lambda }\frac{w_3-b}{w_3-\bar{b}}$，其中。我们可以选择$\lambda$和$b$，使得点$z=0$映射到$w=0$，且在该点。一个简单的计算给出$b=i$和$\lambda =\pi$，并得$$w=\frac{(1-z{)}^{\alpha }-(1+z{)}^{\alpha }}{(1-z{)}^{\alpha }+(1+z{)}^{\alpha }}.$$ 

2.4.4 函数 $𝒘\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}(𝒛\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{𝒛})$ 

该函数所定义的共形映射呈现出一些有趣的特点，值得详细研究。

可以看出，在点$z=\pm 1$处$\frac{dw}{dz}=0$。像点$w=\pm 1$是支点，在这些点映射不再共形。在极坐标下$$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\cos \theta ;v=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\sin \theta$$ 对于$r=\mathit{\text{常数}}$，消去$\theta$得到 这表示$w$平面内的一族共焦椭圆，焦点为$w\pm 1$。正交的曲线族由令$\theta =\mathit{\text{常数}}$并消去$r$得到：$$\frac{u^2}{{\cos }^2\theta }-\frac{v^2}{{\sin }^2\theta }=1$$ 这是一族共焦双曲线，都具有相同的焦点$w=\pm 1$。当$r\to 1$时，相应的椭圆(4.41) 趋于连接$w=+1$和$w=-1$的直线段，并被覆盖两次。若将该线段视为一条割缝，则单位圆周就映射在这条割缝上。每个椭圆都对应着两个圆$r=c$和$r=\frac{1}{c}$，一个在单位圆外，一个在单位圆内。为避免这种多值性，我们在$w$平面上引入另一叶，沿割缝与第一叶连接——上沿接下沿，下沿接上沿。单位圆内部映射到其中一叶，外部映射到另一叶。

因此，这个函数解决了将单位圆外部映射到被一条水平割缝切割的平面上的问题。割缝上、下沿相对的点应视为不同的边界点。

练习

练习 2.7 . 将图中对称透镜的外部以一对一且共形的方式映射到整个$w$平面上从$u=-1$到$u=+1$的割缝，使得$z=\mathrm{\infty }$对应$w=\mathrm{\infty }$，且$z=1$对应$w=1$。

练习 2.8 . 将单位圆的内部沿实轴从$z=-1$到$z=-h$（）割开的区域共形映射到$w$平面内以原点为中心的圆上，使得$z=0$映射到$w=0$，且在$z=0$处$\frac{dw}{dz}=1$。