一般线性变换

一个复函数 $\zeta =T(z)$ 可以几何地视为一个变换，它将一组点（自变量 $z$ 的定义域）映射到另一组点（函数值 $\zeta$ 的值域）。一个最具启发性的例子是一般线性变换 其中 $a,b,c,d$ 是行列式不为零的四个复数；$ad-bc\ne 0$ 。变换 (3.00) 提供了整个 z 平面到整个 $\zeta$ -平面的一一映射 ¹ ，因为对每个 $z$ 的值，对应唯一的 $\zeta$ 值，而对每个 $\zeta$ 的值， $z$ 由逆变换给出 它与 (3.00) 具有相同的行列式。我们将证明该映射是保角的，并随后说明线性变换完全由这两个性质所刻画，即整个 $z$ -平面到自身的一一保角映射仅由一般线性变换给出。

1.3.1 一般线性变换的分解

两个变换 $w=S(\zeta )$ 与 $\zeta =T(z)$ 的乘积 $ST$ 就是变换 $w=S(T(z))$ 。两个线性变换的乘积显然仍是线性变换。将变换 (3.00) 视为若干个简单变换的复合将简化我们的讨论：

1. 平移 仅仅表示整个 $z$ -平面沿向量 $b$ 的刚性移动。由此可知，任何几何构形在该变换下的像都是全等的构形。映射 $\zeta =z$ 称为恒等变换 $I$ ，因为它使每一点保持不变。那些映射到自身的点称为不动点，它们在任意变换中都特别令人感兴趣。如果 $b\ne 0$ ，则映射 (3.10) 的唯一不动点是 $\mathrm{\infty }$ 。
2. 变换 最好用极坐标来考虑。令 $z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )$ 且 $a=|a|(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ 。于是我们有 $$\zeta =|a|\cdot |z|[\cos (\alpha +\theta )+i\sin (\alpha +\theta )]$$ 由此 $$|\zeta |=|a|\cdot |z|\text{且}\mathrm{am}(\zeta )=\mathrm{am}(a)+\mathrm{am}(z).$$ 我们得出结论：该变换表示沿从原点出发的射线方向拉伸 $|a|$ 倍，再加上绕原点旋转角 $\alpha =\mathrm{am}(a)$ 的刚性旋转。因此 (3.11) 可以视为以下两个变换的乘积 $$w=\frac{a}{|a|}z\text{ 和 }\zeta =|a|w$$ 前者为旋转，后者为伸缩。由于任何构形在任一变换下的像都是相似构形，显然合成变换 $\zeta =az$ 也具有同样的性质。注意 $\mathrm{\infty }$ 和 $0$ 都是该映射的不动点。
3. 函数 除点 $z=0$ 外，将 $z$ -平面一一地变换。根据我们的约定，我们通过在 $z=0$ 处令 $\zeta =\mathrm{\infty }$ ，并在 $\zeta =0$ 处令 $z=\mathrm{\infty }$ 来补全该映射。

若如上，记 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ ，则 (3.12) 取如下形式 $$\zeta =\frac{1}{r(\cos \theta +i\sin \theta )}=\frac{1}{r}[\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )].$$ 因此 (3.12) 可分解为变换 $\zeta =\bar{w}$ 和 $w=\frac{1}{r}(\cos \theta +i\sin \theta )=\frac{1}{\overline{z}}$ 。 
第一个变换仅仅是 $z$ -平面关于实轴的反射，因此将图形变为全等构形，但角的方向翻转。第二个变换是关于单位圆的反演，即 $z$ 与 $w$ 位于同一直线上，且 $|w|=\frac{1}{|z|}$ 。处于这种关系的两个点称为反演点。

反演的主要性质假定读者已从初等几何中知晓：该变换将圆变为圆 ² ，且保角但翻转方向。由此推知，合成变换 $\frac{1}{z}$ 是保角的且保持圆。

一般线性变换 的最重要性在于

1.3.2 四点的交比

类比于射影几何，我们定义四个给定复点 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 的交比为 若 ${\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3,{\zeta }_4$ 是 (3.13) 中 $z_1,z_2,z_3,z_4$ 对应的函数值，则可通过直接计算证实 $$({\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3,{\zeta }_4)=(z_1,z_2,z_3,z_4)$$ 或说四点的交比在任何线性变换下保持不变。

线性变换的保圆性由交比的不变性推出。

一般线性变换 实际上仅依赖于至多三个复参数，因为通过用适当的常数乘以分子和分母，我们可以规定条件 $\mathrm{\Delta }=ad-bc=1$ ，从而将其中一个参数用其余三个表示。因此可以预期，一个线性变换可由三个给定点 $z_1,z_2,z_3$ 分别映到三个给定点 ${\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3$ 的条件唯一确定。事实确是如此。对应于自变量 $z$ 的点 $\zeta$ 必须满足方程 不难验证这是一个具有所需性质的线性变换。此外，由三个给定点的映射所确定的变换是唯一的。作为证明，考虑映射 (3.21) 的不动点。它们满足条件 $$z=\frac{az+b}{cz+d},$$ 这等价于二次方程 (3.23) 的两个解就是该变换的不动点。现在，若 $T_1$ 和 $T_2$ 是任意两个将 $z_1,z_2,z_3$ 分别映为 ${\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3$ 的变换，则 $T=T_1{T}_2^{-1}$ （其中 $T_2^{-1}$ 是 $T_2$ 的逆变换）是一个使 $z_1,z_2,z_3$ 保持不动的线性变换。那么二次方程 (3.23) 将有三个根 $z_1,z_2,z_3$ ，这不可能，除非系数全为零；即 $c=0$ ，$a=d$ ，$b=0$ 。但具有这些系数的变换是恒等变换 $I$ 。由 $S_1{S}_2^{-1}=I$ 推出 $S_1=S_2$ 。从而证明了线性变换 (3.22) 的唯一性。

通过考虑过不动点的圆族 $K$ 的行为，可获得对线性变换结构的更深刻理解（归于 F. Klein）。首先假定方程 (3.23) 有两个不同的根 $z_1$ 和 $z_2$ 。由于 $z_1$ 和 $z_2$ 是映射的不动点，族 $K$ 的圆映射为同一族的圆。由映射的保角性可知，正交族 也映射到自身。可能出现三种情形：

1. 族 $𝑲$ 中的每个圆变为自身。此时，族 $K$ 的圆可运动学地视为平面上的点移动到其像的路径。这样的变换称为双曲的。
2. 正交族 中的每个圆映射到自身。此时，族 的曲线是平面上点的路径。该变换称为椭圆的。
3. 如果前两种情形都不成立，则变换称为斜驶的。

这种分类自然地导致对三类线性变换的标准形式描述。给定两个不动点 $z_1$ 和 $z_2$ ，令 $z_3$ 和 $z$ 为过不动点 $z_1$ 和 $z_2$ 的圆上的两点， ${\zeta }_3$ 和 $\zeta$ 分别为 $z_3$ 和 $z$ 的像。像 ${\zeta }_1$ 和 ${\zeta }_2$ 即不动点 $z_1$ 和 $z_2$ 本身。由交比的不变性得到 $$\frac{z-z_1}{z-z_2}\frac{z_3-z_2}{z_3-z_1}=\frac{\zeta -z_1}{\zeta -z_2}\frac{{\zeta }_3-z_2}{{\zeta }_3-z_1}.$$ 于是变换可写为标准形式 其中 $$\alpha =\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\cdot \frac{{\zeta }_3-z_2}{{\zeta }_3-z_1}.$$ 在双曲情形，点 $z_1,z_2,z_3,{\zeta }_3$ 在同一圆上，因此它们的交比 $$\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\cdot \frac{{\zeta }_3-z_2}{{\zeta }_3-z_1}$$ 是一个实常数。双曲变换取形式 反之，由 (3.25) 推知 $\zeta$ ，即 $z$ 的像，位于过 $z,z_1,z_2$ 的圆上，从而该变换是双曲型的。

对于椭圆变换，初等几何中的阿波罗尼斯定理（见练习 23、24）蕴含关系式 我们得出结论：椭圆变换具有形式 反之，由 (3.27) 可推出 (3.26) 成立，因此 $\zeta$ 和 $z$ 位于正交族的同一成员上。

斜驶型变换包含其余可能性： 

最后，若方程 (3.23) 的根重合，则称该变换为抛物型的。抛物型方程的标准形式的推导留作练习。

练习

1.3.3 特殊映射

线性变换给出的许多映射具有特别的重要性。具体来说，我们考虑圆到圆的映射。正如我们已经看到的，一般线性变换的系数可以选取，使得 $z$ 平面上任意指定的三个点变到 $\zeta$ 平面上任意指定的三个点。由于圆变换为圆，且圆由其任意三点确定，因此存在一个线性变换，将 $z$ 平面上任意给定的圆变为 $\zeta$ 平面上任意给定的圆。在确定具体变换时，我们需要以下引理：

该引理直接由 练习 23 的结果得出。

作为第一个例子，我们考虑将实轴映射到单位圆，使得上半平面 映射到圆内部 的一般变换。设点 $z=a$ 满足 被映射到原点 $\zeta =0$。由上述引理，点 $\overline{a}$ 变为点 $\zeta =\mathrm{\infty }$。因此变换必须具有形式 $$\zeta =k\frac{z-a}{z-\overline{a}}.$$然后可以通过注意到实轴映射到单位圆，因此对实数 $z$ 有 $|\zeta |=1$ 来确定复常数 $k$。由此可得 $|k|=1$。在 $k$ 受此限制下，显然当 时有 。通过直接计算可以验证变换 将上半平面映射到单位圆内部，因此是规定类型的最一般的线性变换。

一个有趣的例子是将单位圆内部映射到自身的变换。我们任意选择单位圆内部一点 $z=a$（）并将其映射到原点 $\zeta =0$。应用我们的引理，我们看到反演点 $\frac{1}{\overline{a}}$ 必然变到 $\zeta =\mathrm{\infty }$。变换只能具有形式 $$\zeta =c\frac{z-a}{z-\frac{1}{\overline{a}}}=k\frac{z-a}{\overline{a}z-1}.$$此外，对 $|z|=1$ 有 $|\zeta |=1$，因此由阿波罗尼斯定理有 $$|k|\frac{|z-a|}{|\overline{a}z-1|}=|k|=1.$$该变换现在可写为形式 验证它满足给定要求是一个简单的练习。

从变换 (3.31) 的形式我们得出结论：在将单位圆映射到自身时，我们可以任意指定某一点的映射，并通过调节 $k$ 的幅角，将经过选定点的任何方向映射为经过其像点的任何方向。

作为最后一个例子，我们考虑上半平面 到自身的最一般的线性变换。在实轴到自身的映射中，某个点 $z=p$ 必须映射到 $\zeta =0$，而对另一个实值 $z=q$，有 $\zeta =\mathrm{\infty }$。因此变换必须具有形式 $$\zeta =\lambda \frac{z-p}{z-q}$$由于当 $z$ 为实数时 $\zeta$ 也是实数，可知 $\lambda$ 是实数。我们已经证明变换可写为形式 但我们尚未使用条件：当 时 。这一条件等价于要求（练习 30）中的行列式 与前面相同的方式，我们容易证明 (3.32) 是这种类型的最一般的变换。

线性变换最引人注目的应用之一，是庞加莱在上半平面给出的非欧几何的优美例子。为了更好地展示这一应用，我们先进行一段简要的一般性讨论。

1.3.4 庞加莱几何

可以说，欧几里得几何描述了我们在纸上用铅笔图的经验。非欧几何尽管起初对我们的感觉有些陌生，但它比普通几何更好地描述了某些其他经验，特别是光学中的事实。然而，这些几何有一些共同的因素，详细阐述这些因素将有助于讨论。

我们的几何将像普通几何一样处理点、线、距离和位移的概念。首先，我们将空间限制为由上半平面 组成。点采用通常的欧几里得点。线采用圆心在实轴上的圆——我们限于上半平面内的半圆。根据我们的约定，这包括垂直于实轴的半直线。对于这种线的定义，我们具有通常的性质：通过任意两点恰好有一条线。两条线相交不超过一个点。

存在空间的某些变换，称为位移，它具有这样的性质：线映射为线，且满足

1. 线上点的顺序在位移下不改变
2. 任意给定的点可以位移到任何其他点，使得从被映射点出发的任何射线可以变换为像点处的任何给定射线。

我们取上半平面的线性变换作为位移  

最令人感兴趣的是两点间通常距离的类比。我们自然期望距离函数满足某些要求。即，若 $P_1$ 和 $P_2$ 表示空间中的任意两点，而 $D(P_1,P_2)$ 是它们之间的距离，我们规定以下条件：

1. $D(P_1,P_2)=D(P_2,P_1)$ 
2. 当 $P_1\ne P_2$ 时 ，且当 $P_1=P_2$ 时 $D(P_1,P_2)=0$ 
3. 三角不等式 $$D(P_1,P_2)+D(P_2,P_3)\ge D(P_1,P_3)$$式中等号成立当且仅当 $P_1,P_2,P_3$ 按该顺序在同一条线上。

最后，我们要求两点间的距离在任何位移下保持不变。

定义距离函数的可能性受到一定的限制。如果 $D(P_1,P_2)$ 是任一距离函数，那么任何其他距离函数 $R(P_1,P_2)$ 都可以写成 $D(P_1,P_2)$ 的单值函数。换句话说，$D$ 的值与 $R$ 的值之间存在一一对应关系。

作为证明，我们证明若 $z_1,z_2$ 和 ${\zeta }_1,{\zeta }_2$ 是任意两对点且满足 $D(z_1,z_2)=D({\zeta }_1,{\zeta }_2)$，则 $R(z_1,z_2)=R({\zeta }_1,{\zeta }_2)$。首先，存在一个位移将 $z_1$ 变到 ${\zeta }_1$ 并将 $z_2$ 变到 ${\zeta }_2$。因为存在一个位移将 $z_1$ 映射到 ${\zeta }_1$，并将射线 $\overrightarrow{z_1{z}_2}$ 变为射线 $\overrightarrow{{\zeta }_1{\zeta }_2}$。现在令 $w$ 为 $z_2$ 的像。有两种可能性：要么 $w$ 位于 ${\zeta }_1$ 和 ${\zeta }_2$ 之间，要么 ${\zeta }_2$ 位于 ${\zeta }_1$ 和 $w$ 之间。在第一种情况下，由条件3）可得 $$D({\zeta }_1,w)+D(w,{\zeta }_2)=D({\zeta }_1,{\zeta }_2).$$但由 $D$ 在位移下的不变性有 $$D({\zeta }_1,w)=D(z_1,z_2)=D({\zeta }_1,{\zeta }_2).$$因此 $D(w,{\zeta }_2)=0$，这仅当 $w={\zeta }_2$ 时才成立。第二种可能性得出同样的结果。现在，存在一个位移将 $z_1$ 变到 ${\zeta }_1$ 并将 $z_2$ 变到 ${\zeta }_2$ 的事实表明 $$R(z_1,z_2)=R({\zeta }_1,{\zeta }_2).$$同样的证明可用于反方向，以证明 $D$ 的值和 $R$ 的值之间存在一一对应关系。

在寻找一个在变换 (3.40) 下不变的距离函数时，人们自然会想到四点的交比。但在定义距离 $D(P_1,P_2)$ 时，我们应该选择哪两个辅助点来构成交比呢？一个显然的选择是位于连接 $P_1$ 和 $P_2$ 的半圆两端的一对轴点 $Q_1$ 和 $Q_2$。它们具有特殊的优点：由 $P_1$ 和 $P_2$ 唯一确定，并且在位移下变换为 $P_1$ 和 $P_2$ 的像的对应点。

然而，交比并不满足距离的可加性；即，如果 $P_1,P_2,P_3$ 是按该顺序在同一条线上的点，那么 $$D(P_1,P_2)+D(P_2,P_3)=D(P_1,P_3).$$但交比确实满足乘性关系 这提示我们使用交比的对数作为合适的距离函数。由于距离函数必须非负，我们取绝对值：其中 可以任意固定。

公式 (3.42) 是庞加莱几何中可得到的最一般的距离函数。

为了证明，我们将连接点 $P_1,P_2$ 的半圆位移为一条垂直于实轴的射线。我们可以这样做是显然的，因为我们有三个实参数可供使用，这允许我们任意指定一个点，并规定第二个点的 $x$ 坐标与第一个点相同。交比 $\left(P_1{P}_2{Q}_1{Q}_2\right)$ 就简化为 $\frac{y_2}{y_1}$。然后我们选择距离函数  

现在，若 $R(P_1,P_2)$ 是距离的任何其他表达式，则它是 $D(P_1,P_2)$ 的单值函数， $$R(P_1,P_2)=f(D)=f\left(|\log \frac{y_1}{y_2}|\right).$$ 特别地，如果按次序排列的线上的点 $y_1,y_2,y_3$ ，我们有 因此，对于任意正数 $a,b$ ，我们有 我们将证明 $f(x)$ 必须是一个线性函数 $$f(x)=kx.$$ 从 (3.43) 立即看出，对于所有整数 $n$ ，有 $$f(nx)=nf(x)$$ 此外，对于任意有理数 $\frac{p}{q}$ ，我们注意到 $$qf\left(\frac{p}{q}x\right)=pf(x)$$ 从而 $$f\left(\frac{p}{q}x\right)=\frac{p}{q}f(x).$$ 这个结果容易推广到包括所有实数。若 $r$ 是一个实数，它完全由它与有理数所满足的次序关系确定。例如，假设 ，其中 $\alpha ,\beta$ 是有理数。那么 从而 因此 $\frac{f(rx)}{f(x)}$ 与数 $r$ 满足关于有理数的同样的不等式。我们断定 $$f(rx)=rf(x).$$ 

令 $f(1)=k$ ，则我们有 $$f(r)=f(r.1)=kr$$ 特别地 $$R(P_1,P_2)=R(D)=kD(P_1,P_2)=k|\log \frac{y_2}{y_1}|.$$ 

黎曼长度概念

假设我们有一条上半平面中的曲线 $c$ 。在新的几何中，我们如何定义它的长度？最自然的方法是完全像在欧几里得情形那样使用黎曼的方法。

考虑一条由参数表示给出的曲线 $c$ 或用复数记号 $$z=z(t)=x(t)+iy(t).$$ 我们假设没有一个点被参数的两个值覆盖，曲线是分段光滑的，并且总有 在通常的欧几里得情形，曲线的长度是通过取用多边形弧逼近 $c$ 的极限来计算的。细分 $t$ 的区间  

我们得到由点 ${\zeta }_0=z\left(t_0\right),\dots ,{\zeta }_N=z\left(t_N\right)$ 给出的曲线的一个细分。如果我们用直线段连接相继的点，我们得到一个长度为 $$\sum |{\zeta }_{n+1}-{\zeta }_n|=\sum \left|\frac{\mathrm{\Delta }\zeta }{\mathrm{\Delta }t}\right|\mathrm{\Delta }t.$$ 的逼近多边形。当 $max\mathrm{\Delta }t\to 0$ 时这个和的极限是积分  

在庞加莱半平面中，曲线的长度以同样的方式定义。我们用多边形线逼近曲线，其中连接两点的线段我们取与实轴正交的圆弧。曲线的长度于是定义为和 $$\sum D({\zeta }_n,{\zeta }_{n+1})\text{当}max(t_{n+1}-t_n)\to 0.$$ 

邻近点 $\zeta ,\zeta +\mathrm{\Delta }\zeta$ 之间的距离可以通过将连接它们的半圆移到一个与实轴正交的半直线上来得到。然后，如前，我们有 弧微分必定具有形式 ${\displaystyle \frac{|dy|}{y}}$ 。用原来的点 $\zeta$ 表示，这变成 ${\displaystyle \frac{|d\zeta |}{\eta }}$ ，其中 $\eta =\mathrm{Im}(\zeta )$ 。我们断定曲线 $c$ 的长度是 $${\int }_0^1\frac{\left|\frac{dz}{dt}\right|}{y(t)}dt.$$ 

练习