柯西积分定理

我们已经陈述了某些准则（ (1.20) 和 (1.21) ），即实线积分与积分路径无关。如果采用复积分根据实积分的定义，我们得到复积分与路径无关的条件。我们将以稍微更一般的形式获得这些条件，而不必诉诸实积分。对应于(1.20) ，我们有定理

定理 3.4 。连续函数 $\int_{z_{0}}^{z_{1}} f (z) d z$ 的线积分对于域 $D$ 中的每一对点 $z_{0}$ 和 $z_{1}$ 都与连结 $z_{0}$ 到 $z_{1}$ 的曲线无关的一个充要条件是，在 $D$ 中存在一个函数 $F (z)$ 使得。注意，我们并不局限于路径。

证明。充分性：设 $C$ 为连结 $z_{0}$ 到 $z_{1}$ 的任意曲线。我们有由于 $f (z)$ 连续，该和可写为 $\sum (\frac{F (z_{ν + 1}) - F (z_{ν})}{z_{ν + 1} - z_{ν}} + ε_{ν}) (z_{ν + 1} - z_{ν})$ 其中 $| ε_{ν} |$ 小于某个固定的 $ε$ ，(3.11) ，第2章。于是得到因为 $| \sum ε_{ν} Δ z_{ν} | < ε | z_{1} - z_{0} |$ ，取极限得

$\int_{z_{0}}^{z_{1}} f (z) d z = F (z) - F (z_{0}) .$

必要性：假设积分

$\int_{z_{0}}^{z_{1}} f (z) d z$ 与积分曲线无关。我们定义函数 $F (z) = \int_{z_{0}}^{z} f (ζ) d ζ .$ 构造差商 $\frac{F (z + Δ z) - F (z)}{Δ z} = \int_{z}^{z + Δ z} f (ζ) d ζ \frac{1}{Δ z} .$ 从 $z$ 到 $z + Δ z$ 的积分与曲线无关。我们取直线路径。通过取 $| Δ z |$ 充分小，可以确保当 $| ζ - z | < | Δ z |$ 时 $| f (ζ) - f (z) | < ε$ 。因此我们断定。 ◻

条件 (1.21) 导致另一个用被积函数自身表达的准则。

定理 3.5 。若 $D$ 是单连通域，则线积分 $\int_{z_{0}}^{z} f (z) d z$ 与路径无关当且仅当 $f (z)$ 在 $D$ 中连续可微。

该定理的条件过于严格。只要求导数存在就足够了，无需假设其连续性。

定理 3.6 。在单连通域 $D$ 中线积分 $\int_{z_{0}}^{z} f (z) d z$ 与积分曲线无关的一个充要条件是 $f (z)$ 在 $D$ 中解析。

积分与积分曲线无关这一陈述等价于绕任何闭曲线的积分为零。因为若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是连接 $z_{0}$ 到 $z$ 的任意两条曲线，则曲线 $C_{1}$ 和 $- C_{2}$ 构成闭曲线 $C$ 。由于 $\int_{C_{1}} = \int_{C_{2}}$ ，我们有 $\int_{C} = \int_{C_{1}} + \int_{- C_{2}} = \int_{C_{1}} - \int_{C_{2}} = 0.$ 反之，任何闭曲线都可以拆分为在端点连接的两条弧。

充分性陈述就是基本的柯西积分定理。

定理 3.7 （柯西积分定理）。若 $f (z)$ 在单连通域 $D$ 中解析，则对于 $D$ 中所有可求长的闭曲线 $C$ ，有。

证明。 我们给出著名的古尔萨证明。

A. 定理对于矩形 $C$ 成立。设 $R_{0}$ 为 $D$ 中的任一矩形。我们通过作平行于边的直线将 $R_{0}$ 划分为四个相等的矩形。若以 $R_{1}^{*}$ ， $R_{2}^{*}$ ， $R_{3}^{*}$ ， $R_{4}^{*}$ 表示划分所得的矩形，则由 (1.34) 和 (1.35) 可得 $\int_{R_{0}} f (z) d z = \int_{R_{1}^{*}} + \int_{R_{2}^{*}} + \int_{R_{3}^{*}} + \int_{R_{4}^{*}} .$ 因此，若令 $I_{0} = | \int_{R_{0}} f (z) d z |$ 则有 $| I_{0} | \leq | \int_{R_{1}^{*}} | + \dots + | \int_{R_{4}^{*}} |$ 因此，对于 $R_{1}^{*}$ 中至少一个，记其为 $R_{1}$ ，我们有 $I_{1} = | \int_{R_{1}} f (z) d z | \geq \frac{I_{0}}{4} .$ 若对矩形 $R_{1}$ 重复此过程，则得矩形 $R_{2}$ 满足 $I_{2} = | \int_{R_{1}} f (z) d z | \geq \frac{I_{1}}{4} \geq \frac{I_{0}}{4^{2}}$ 经过 $n$ 步后，得到 $R_{n}$ 满足 $I_{n} = | \int_{R_{n}} f (z) d z | \geq \frac{I_{0}}{4^{n}} .$

通过这种方式，我们确定一个矩形序列 $R_{0}, R_{1}, R_{2}, \dots$ ，其中每个矩形都包含在前一个中，且最大直径（即对角线）趋于零。我们把这样的序列称为“嵌套集”。不难证明，一个嵌套集的所有矩形有且仅有一个公共点。证明留作练习。

设 $ζ$ 表示所有 $R_{i}$ 的公共点。由于 $f (z)$ 解析，我们可以在 $ζ$ 处用线性函数近似 $f (z)$ 。即，其中 $η (z, ζ)$ 可以通过取 $z$ 充分接近 $ζ$ 而任意小。¹也就是说，任给 $ε > 0$ ，可找到 $δ$ 使得 $| z - ζ | < δ$ 蕴含 $| η (z, ζ) | < ε$ 。

选取 $n$ 足够大，使得 $R_{n}$ 包含在圆域 $| z - ζ | < δ .$ 在 $R_{n}$ 上，我们有因此

由方程 (1.37) 、(1.38) 知，前三个积分与路径无关，因而为零。于是 $\int_{R_{n}} f (z) d z = \int_{R_{n}} (z - ζ) η d z .$ 在 $R_{n}$ 上，由于整个矩形都在 $ζ$ 的 $δ$ 邻域内，有 $| η | < ε$ 。此外， $| z - ζ | \leq \frac{L_{n}}{2}$ ，其中 $L_{n}$ 是 $R_{n}$ 的周长。利用估计式 (1.33) ，得到 $I_{n} = | \int_{R_{n}} f (z) d z | < ε \cdot \frac{L_{n}}{2} \cdot L_{n} = \frac{ε}{2} \frac{L_{0}^{2}}{4^{n}} .$ 结合前面的结果，有 $\frac{ε}{2} \frac{L_{0}^{2}}{4^{n}} > I_{n} \geq \frac{I_{0}}{4^{n}}$ 因此 $I_{0} < \frac{ε L_{0}^{2}}{2}$ 故 $I_{0}$ 小于任何正数，从而 $I_{0} = 0$ 。

证明的其余部分是将定理推广到更一般的曲线。

B. 定理对于“阶梯”多边形成立，即由有限条平行于坐标轴的线段构成的多边形。为证明，首先假设 $C$ 是一个简单的阶梯多边形。我们如下将 $C$ 划分为矩形：

通过延长多边形的边构造矩形网格。 $C$ 的内部显然包含在此网格的矩形中，因为它由四条线限定：最上边、最下边以及最左和最右的边。现在，网格中每个矩形的内部必须完全位于 $C$ 的内部或完全位于外部，因为没有网格矩形在其内部包含 $C$ 的点。根据我们的定向约定 ²， $C$ 是其内部所有矩形的和。由 (1.34) 我们断定定理对简单的阶梯多边形成立。

若 $C$ 是阶梯多边形但不简单，则可如下将其分解为简单部分：设 $A$ 为 $C$ 上的任一点。从 $A$ 出发沿 $C$ 的任一方向前进，直到路径首次在某点 $B$ 与自身相交。

从第一次遇到 $B$ 到第二次遇到 $B$ 的那部分路径是一个闭多边形， $C$ 的其余部分也是；必要时可对这两个多边形的每一个进一步以类似方式分解，以此类推。由于 $C$ 的自交点数有限，经有限步即可分解为简单的闭多边形，于是由 (1.34) 知定理对 $C$ 成立。

C. 我们现在可以证明定理对任意可求长曲线成立。只需证明，任何可求长曲线 $C$ 都可以用阶梯多边形任意逼近。由于 $C$ 可求长，可将其细分为任意小长度的弧。设 $z_{0}, z_{1}, \dots$ 表示细分的相继分点。在每一区间内我们用“阶梯”逼近 $C$ 。

对于从 $z_{ν - 1}$ 到 $z_{ν}$ 的区间，我们取从 $z_{ν - 1}$ 到 $x_{ν - 1} + i y_{ν}$ 再到 $z_{ν}$ 的阶梯。显然，这种阶梯的长度小于 $2 | z_{ν} - z_{ν - 1} |$ 。因此，这种逼近多边形的长度小于 $C$ 的长度的两倍。通过取充分精细的细分，我们可以使阶梯多边形任意接近 $C$ 。因为若弧 $\overset{⌢}{z_{ν} z_{ν - 1}} < ε$ 的长度，则阶梯上在 $z_{ν}$ 和 $z_{ν - 1}$ 之间的任一点都不远于 $2 ε$ 。由引理 3.1.10 即得定理。◻

有许多柯西定理的证明是在更宽松的条件下给出的。如果我们允许单连通区域中的所有曲线，其中 $f (z)$ 在内部解析而仅在边界连续，定理仍然成立。

曲线 $C$ 包含在 $f (z)$ 的单连通解析域内这一条件对定理陈述至关重要。例如，考虑函数 $f (z) = \frac{1}{z}$ 。此函数除原点外处处解析。取积分 $\int_{C} \frac{d z}{z}$ ，其中 $C$ 为圆 $| z | = R$ 。令 $z = R e^{i ϕ}$ ，我们得到 $\int_{C} \frac{d z}{z} = \int_{0}^{2 π} \frac{R i e^{i ϕ}}{R e^{i ϕ}} d ϕ = i \int_{0}^{2 π} d ϕ = 2 π i .$ 积分不为零。但定理的萌芽仍成立。积分与圆的半径无关。这个例子提示可将柯西积分定理推广到多连通域。

定理 3.8 . 设 $R$ 是包含在 $f (z)$ 的解析域内的一个区域。假定 $R$ 由简单闭路径 $C, C_{1}, \dots, C_{n}$ 界定，其中 $C_{1}, \dots, C_{n}$ 的内部都包含在 $C$ 的内部。如果我们将所有积分都取逆时针方向，那么

证明. 通过构造一个单连通域来证明。我们用不相交的路径将每一个 $C_{i}$ 与 $C$ 连接起来。若限制曲线不穿过这些路径，则所得的域是单连通的。于是新边界曲线上的积分为零。但连接路径上的积分以两个方向取积分并相互抵消（引理 3.1.6）。我们推出 $\oint_{C} f (z) d z + \oint_{C_{1}} f (z) d z + \dots + \oint_{C_{n}} f (z) d z = 0$ 这就证明了定理。◻

注意，新边界沿顺时针方向描绘曲线 $C_{1}, \dots, C_{n}$ ，如图中所示以及上述记号所指示的。