位势理论应用. 流动研究

3.4.1 边值问题

正如我们所见，解析函数在简单闭曲线内部的值完全取决于边界上的值。在本节中，我们将讨论这一结果与势论边值问题的密切关系。

一个函数 $u(x,y)$ 在区域 $D$ 中是调和的，如果它具有直到二阶的连续导数，并且满足拉普拉斯方程 $$\mathrm{\Delta }u=u_{xx}+u_{yy}=0.$$ 该方程是线性的。因此，调和函数的任何线性组合仍然是调和函数。

从柯西-黎曼方程可以清楚地看出，解析函数的实部和虚部是 $x$ 和 $y$ 的调和函数。反之，给定任意调和函数 $u(x,y)$，存在另一个调和函数 $v(x,y)$，除了一个可加常数外，由积分 确定，使得 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是复变量 $z=x+iy$ 的解析函数。这样定义的函数 $v$ 称为 $u$ 的共轭 函数。那么 $u$ 将是 $-v$ 的共轭函数。这样，每一个调和函数都可以作为某个解析函数的实部或虚部出现。有了这个事实，我们就建立了调和函数论与解析函数论的等价性。

解析函数的若干性质可以立即搬过来。由于解析函数具有所有阶的连续导数，因此 调和函数 $𝒖\mathbf{(}𝒙\mathbf{,}𝒚\mathbf{)}$ 关于 $𝒙$ 和 $𝒚$ 也具有所有阶的连续导数。

一些重要定理也可搬过来，特别是

最大值的证明步骤与解析函数相应定理的证明相同。对于最小值，我们只需注意，$u(x,y)$ 在 $-u$ 取得最大值处取得最小值。

由此可得，调和函数由其边界值唯一确定 ，即如果 $u_1$ 和 $u_2$ 都在 $D$ 中调和且在 $D$ 的边界上有相同的值，则在 $D$ 内部 $u_1=u_2$。因为函数 $$u(x,y)=u_1(x,y)-u_2(x,y)$$ 在 $D$ 中调和且在 $D$ 的边界上处处为零。因此，根据最大最小值原理，在 $D$ 内 $u=0$。

解析函数也由柯西积分公式 在给定其边界值时唯一确定。然而，这并不意味着解析函数 $f(z)$ 的边界值可以完全自由地选取——实际上，我们只能自由地指定其实部（或虚部）的边界值。因为实部的边界值唯一地确定了 $f(z)$ 的实部，并且由 (4.10) 也确定了其虚部。¹ 事实上，我们将会在给定实部边界值的情况下，实际求得 $f(z)$ 的显式表达式。

探究在给定边界值的情况下，指定调和函数有多少自由度是一个有趣的问题。近年来，这个问题得到了深入的研究。但是在本文使用的较严格条件（边界是一条路径且边界值连续）下，该问题总是有唯一解。

我们现在将证明，对于圆的简单区域，可以将一个给定调和函数表示为一个仅涉及其边界值的积分，类似于柯西积分公式 。我们将证明，对于给定的边界值，这个积分表达式实际上在该区域内建立了一个具有这些边界值的调和函数，从而解决了该区域的边值问题。对于更复杂的区域，问题要困难得多。

不失一般性，我们可以仅考虑以原点为中心的单位圆 $C$。设 $u(r,\varphi )$ 在 $C$ 内调和，并记 $u(\varphi )=u(1,\varphi )$ 为 $u(r,\varphi )$ 在 $C$ 圆周上的边界值。设 $f(z)=u+iv$ 为在 $C$ 内以 $u$ 为实部的解析函数。那么根据柯西积分公式 ，$$2\pi if(z)={\int }_C\frac{f(t)}{t-z}dt,|z|\le 1$$ 其中 $t$ 表示沿 $C$ 的复变量。在极坐标中，$t=e^{i\theta }$ 在 $C$ 上，给出 $$2\pi f(z)={\int }_0^{2\pi }f(t)\frac{t}{t-z}d\theta$$ 如果我们能在这个公式中分离实部和虚部，就能成功地将 $u$ 和 $v$ 表示为它们各自边界值的表达式。让我们看看如何做到这一点：

由于 $z$ 关于 $C$ 的倒数 $\frac{1}{z}$ 的共轭 ${\overline{z}}^{-1}$ 在 $C$ 外部，因此有 $${\int }_0^{2\pi }f(t)\frac{t}{t-\frac{1}{z}}d\theta =0,$$ 从而 因为 $t\overline{t}=1$，$$\frac{t}{t-z}-\frac{t}{t-\frac{1}{z}}=\frac{t}{t-z}-\frac{\overline{z}}{\overline{z}-\overline{t}}=\frac{1-|z{|}^2}{|t-z{|}^2}$$ 这是实数。因此，记 $f(e^{i\theta })=u(\theta )+iv(\theta )$，我们可以立即将 (a) 分离为实部和虚部，得到 其中 $z=r{e}^{i\varphi }$ 是 $C$ 内部的一点，且 $t=e^{i\theta }$。显然，$|t-z|$ 表示从固定点 $z=r{e}^{i\varphi }$ 到动点 $t$ 的距离，由下式给出：$$|t-z|=\sqrt{1-2r\cos (\theta -\varphi )+r^2}.$$ 

这样我们就得到了重要的公式 这个表达式，即泊松积分公式 ，是所要结果的一部分，即将单位圆内调和函数表示为一个表达式，其中显式出现其边界值且仅出现这些边界值。我们将在下面看到，泊松公式也解决了单位圆的边值问题：

类似地，方便得到用 $u$ 的边界值表示 $v(r,\varphi )$ 和 $f(z)$ 的公式。我们有

因此，取 (a) 中的上方符号$$2\pi [u(r,\varphi )+iv(r,\varphi )]={\int }_0^{2\pi }[u(\theta )+iv(\theta )][1+2i\frac{\mathrm{Im}(\overline{t}z)}{|t-z{|}^2}]d\theta \text{, }$$ 得到 根据平均值性质，${\int }_0^{2\pi }v(\theta )d\theta =2\pi v(0)$，即在原点的值，且 $\mathrm{Im}(\overline{t}z)=\mathrm{Im}\left(e^{-i\theta }r{e}^{i\varphi }\right)=r\sin (\varphi -\theta )$，因此 这个公式唯一地确定了 $v$，除了任意可加常数 $v(0)$。

将 (b) 和 (c) 结合，得到 因为 $2i\mathrm{Im}(\overline{t}z)=\overline{t}z-t\overline{z}$，这简化为 它用其实部边界值表示了在单位圆内解析的函数。$f(z)$ 除了任意常数 $iv(0)$ 外是唯一确定的。

泊松公式 (4.12) 很容易推广到半径为 $R$ 的圆。我们只需将 (4.12) 中的 $r$ 替换为 $\frac{r}{R}$：  

调和函数的傅里叶展开

通过适当变换这些公式，可以将调和函数表示为一个傅里叶级数，其系数只依赖于边界值，而不是将其表示为一个关于边界值的积分。由于 ，该级数在单位圆内收敛。因此 (4.14) 变为 $$f(z)=iv(0)+\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(\theta )(1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^n{e}^{in(\varphi -\theta )})d\theta .$$ 由于该级数在任何更小的圆内一致收敛，我们可以交换求和与积分顺序：$$f(z)=iv(0)+\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(\theta )d\theta +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^n(\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }u(\theta )e^{-in\theta }d\theta )e^{in\varphi }.$$ 分离实部和虚部得到两个级数 其中 ${\alpha }_n$，${\beta }_n$ 称为函数 $u(\theta )$ 的傅里叶系数。由于 $r\le 1$，这两个级数在单位圆内一致收敛。

另一种推导泊松公式的方法是依靠平均值定理 ，如下：变换 将 $z$ 平面单位圆的内部映射为 $w$ 平面上的单位圆，并且将点 $z=0$ 映射为点 $w=r{e}^{i\varphi }$。于是我们有 $$f(0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(e^{i\psi })d\psi$$ 其中 $z=e^{i\psi }$ 是圆周上的一个动点。如果 $w=e^{i\theta }$ 是 $w$ 平面上对应的点，则 $$f(r{e}^{i\varphi })=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(e^{i\theta })d\psi$$ 或 $$u(r,\varphi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u(e^{i\theta })d\psi ,$$ $\psi$ 是图中所示的角度。

由 (d) 我们求得 $$d\psi =\frac{1-r^2}{1-2r\cos (\theta -\varphi )+r^2}d\theta .$$ 

单位圆边值问题的解

我们现在要证明，泊松公式不仅用边界值表示了一个给定的调和函数，而且还解决了单位圆的边值问题，即：

由于可以在积分号下对 $r$ 和 $\varphi$ 求导，有 $$\mathrm{\Delta }u(r,\varphi )=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(\theta )\mathrm{\Delta }\lambda (r,\varphi ;\theta )d\theta$$ 其中 $\lambda$ 是泊松核 且 $\mathrm{\Delta }$ 是拉普拉斯算子 $$\mathrm{\Delta }=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})=(\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}).$$ $\mathrm{\Delta }u=0$ 直接由 $\mathrm{\Delta }\lambda =0$ 这一事实得出。但 $\mathrm{\Delta }\lambda =0$ 是因为 $$f(z)=\frac{t+z}{t-z}=\frac{1-|z{|}^2}{|t-z{|}^2}+2i\frac{\mathrm{Im}(\overline{t}z)}{|t-z{|}^2}$$ 而 $\lambda$ 作为解析函数 $f(z)$ 的实部，必然是调和函数。

因此我们证明了 (4.12) 实际上是一个调和函数。它在单位圆周上取某些边界值 $u(\theta )$ ，并且如果我们能证明 $$u(\theta )=f(\theta ).$$ 

证明。 如果 $P(1,{\varphi }_0)=({\theta }_0)$ 是单位圆周上给定的点，并且 $f(P)=c$ ，那么我们必须证明 $$\underset{\begin{array}{c}r\to 1\\ \varphi \to {\varphi }_0\end{array}}{lim}u(r,\varphi )=c.$$ 函数 $u(r,\varphi )\equiv c$ 作为一个调和函数，可以用泊松积分表示： 因此 我们不能直接在这个表达式中取极限，因为当 $r\to 1$ 时泊松核变得不确定。相反，我们采用这类情况中典型的推理方法；将积分分成两部分，并对每一部分分别进行估计。以 $P$ 为圆心、半径为 $\rho$ 的小圆 $k$ 将单位圆周分成小弧段 $C_1$ 和大弧段 $C_2$ 。由 $f(\theta )$ 的连续性，我们可以取 $\rho$ 足够小，使得 再以 $P$ 为圆心画一个半径为 $r\le \frac{\rho }{2}$ 的圆 ，并令 $(r,\varphi )$ （在整个论证过程中视为固定）是圆 内但不在 $C_1$ 上的任意点。

那么，由 (f) $$|u(r,\varphi )-c|\le \frac{1}{2\pi }{\int }_{C_1}|f(\theta )-c|\lambda d\theta +\frac{1}{2\pi }{\int }_{C_2}|f(\theta )-c|\lambda d\theta .$$ 由 (e) 和 (g) 我们已经知道 $d=\sqrt{1-2r\cos (\theta -\varphi )+r^2}$ 表示点 $(r,\varphi )$ 到边界的（可变）距离。因此，如果 $m(r,\varphi )$ 表示 $(r,\varphi )$ 到弧段 $C_2$ 的最小距离，那么我们有 令 $M=max|f(\theta )-c|$ ，并注意到对于 内的 $(r,\varphi )$ 有 $m\ge \frac{\rho }{2}$ ， 显然，我们可以取 足够小，使得其中所有点都满足 。因此，结合 (h) ，对于 $P$ 的充分小邻域 内的任意点 $(r,\varphi )$ ，有 ，这就证明了定理。 ◻

单位圆周边值问题的另一种解法由调和函数的傅里叶展开 (4.16) 给出。假设在单位圆周的边界上给定了一个连续且在 内具有分段连续导数的函数 $f(\theta )$ 。那么 其中 是在单位圆内正则且具有边界值 $f(\theta )$ 的调和函数。因为，在上述限制下，$f(\theta )$ 等于其傅里叶级数 $$f(\varphi )=u(1,\varphi )=\frac{{\alpha }_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\alpha }_n\cos n\varphi +{\beta }_n\sin n\varphi ),$$ 因此，级数 (i) 在单位圆内处处收敛于一个函数 $u(r,\varphi )$ ，该函数具有边界值 $f(\varphi )$ 。$u(r,\varphi )$ 是调和函数，因为级数的每一项 $$r^n\cos n\varphi ,r^n\sin n\varphi$$ 都是调和的，并且由于该级数在任何子圆内一致收敛， $$\mathrm{\Delta }u=\sum ({\alpha }_n\mathrm{\Delta }(r^n\cos n\varphi )+{\beta }_n\mathrm{\Delta }(r^n\sin n\varphi ))=0.$$ 

通过考虑其共轭函数 $v(r,\varphi )$ 并逆用得到 (4.16) 的步骤，我们可以将表达式 (i) 转化为泊松积分。

3.4.2 解析函数理论的物理应用：二维流动

除了我们目前所考虑的解析函数的各种刻画之外，还有一个具有重大物理意义的观点。即正如我们将看到的，每个解析函数都对应着某种类型的二维流动。

二维流动是一种运动，它在数学上由矢量 $V$ 表征和定义，该矢量代表速度，在区域 $D$ 的每一点由其 $x$ 和 $y$ 分量 $$p=p(x,y),q=q(x,y),$$ 定义，这些分量是 $D$ 内 $x$ 和 $y$ 的单值给定函数。速度的第三个分量为零。我们假设 $p$ 和 $q$ 是 $x$ 和 $y$ 的可微函数，并且流动是定常的或静态的，即 $p$ 和 $q$ 不随时间变化。这样的流动在物理上可以由不可压缩液体或平板中的热流或电流来实现。

首先我们考虑与这类流动相关的一些基本概念。所谓“源”是指流体出现的点，所谓“汇”是指流体消失的点。为了使这些概念精确化，考虑 $(x,y)$ 平面上有边界 $C$ 的任意区域 $D$ 。² 如果 $ds$ 是 $C$ 上沿 $C$ 正向的弧微元，那么 $V_{n}ds$ （其中 $V_n$ 表示 $V$ 垂直于 $ds$ 的分量）给出了单位时间内流出 $D$ 穿过 $ds$ 的流体量。（如果 $V_n$ 为负，则理解为流体穿过 $ds$ 流入 $D$ 。）

用 $(dx,dy)$ 表示 $ds$ 的分量，则 $(dy,-dx)$ 是从 $D$ 指向外部的 $ds$ 法线分量的分量。将 $V=(p,q)$ 投影到该法线上，得到 $$V_{n}ds=pdy-qdx.$$ 因此，流出 $D$ 的流体总量减去流入 $D$ 的流体总量由下式给出  

沿边界 $C$ 积分。这个积分通常称为流体通过曲线 $C$ 的通量。如果 $D$ 内没有源或汇，且流体是不可压缩的，那么该积分在 $C$ 或 $D$ 内任何封闭曲线上均为零。我们称这样的流动为“无散度”流动，并将通量积分 (4.20) 为零作为这一事实的数学表达。

还有所谓的“涡旋运动”需要考虑。如果我们把流动看作由一族称为“流线”的曲线来表示，流动沿着这些曲线流动，那么可能会发生一条流线是闭合环的情况，此时流体绕该曲线无限循环。此时称流动具有涡旋运动。方便起见，定义这种环量的量度为沿流线的 $\int Vds$ 。如果 $c$ 不是流线，那么我们可以通过考虑 $V$ 沿 $c$ 的分量 $V_s$ ，并将其绕 $c$ 积分来定义沿 $c$ 的环量： $$\text{ 环量 }={\int }_c{V}_{s}ds={\int }_{c}pdx+qdy.$$ 如果流动在区域 $D$ 内是无旋的，则环量沿 $D$ 内的每一条闭合曲线为零，反之亦然。

有了这些定义，我们现在可以证明：

这个函数的实部和虚部分别给出速度分量，称为复速度，并且在每一个无散度且无环量的区域内是正则的。在这样的区域内 $$\varphi (z)={\int }^{z}f(z)dz$$ 也是正则的，并且确定了一个称为速度势的解析函数 $\varphi (z)=u+iv$ （至多相差一个常数），满足 方程 $u(x,y)=\mathit{\text{const.}}$ 确定了 $(x,y)$ 平面内的一族曲线。任一点处的流动方向由通过该点的曲线 $u=\mathit{\text{const.}}$ 给出，因为由 $u_{x}dx+u_{y}dy=0$ 可得 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{u_x}{u_y}=\frac{q}{p}.$$ 因此，$u=\mathit{\text{const.}}$ 曲线与流线（即流动线）重合。曲线 $v(x,y)=c$ 构成另一族与第一族正交的曲线，因为 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{v_x}{v_y}=-\frac{p}{q}.$$ 我们称这些曲线为流动的等势线。

该图展示了由流线和等势线表示的典型流动部分。

流动的奇点，初等函数的流动

我们来考察流动中出现的各种奇点。这些奇点对应于速度势 $\varphi (z)$ 的支点或奇点。支点奇点以函数 $\varphi (z)=z^n$ 在原点处的行为为代表。我们只需研究由该函数定义的流动即可。如果 $\varphi (z)=z^2=x^2-y^2+2ixy$ ，则线 $u=c$ ，$v=c$ 分别对应于直角双曲线的正交网： $$x^2-y^2=c,xy=c.$$ （图中显示了每族曲线的若干条。）$u$ 曲线上的箭头表示流动方向，即 $u$ 增大的方向。极限情况 $u=0$ ，$v=0$ 并非正交，而是在原点处相交成 ${45}^{\circ }$ 角。当然，根据我们之前关于映射 $w=z^2$ 在原点附近行为的讨论，这是可以预料的。在这样一个点，两条流线汇合，两条流线离开，流动可以选择其中任一条路线。这幅图最初提出了“支点”这个名称。

对于 $\varphi (z)=z^n$ ，原点处也出现类似情况；$n$ 条流线以相同的角度汇合，$n$ 条流线离开交叉点。下图描绘了 $n=3$ 的情形，对应于 $\varphi (z)=z^3$ 。

函数 $\varphi (z)=\log z$ 提供了两种重要的流动类型。我们有 $$u=\log |z|,v=\theta$$ 即流线由以原点为圆心的同心圆族构成，其流动如下图所示。

有人可能会问，在这样的流动中，原点处会发生什么？由于 $\log z$ 在该处有奇点，我们应当预期会出现异常行为；我们来计算沿其中一个圆的环量积分 $$\int pdx+qdy$$ 其中 $p$ 、$q$ 是速度分量。由于 $p=v_x$ 、$q=v_y$ ，该积分变为 $${\int }_0^{2\pi }{\theta }_{x}dx+{\theta }_{y}dy={\int }_0^{2\pi }d\theta =2\pi$$ 该式对于任何沿逆时针方向环绕原点一次的曲线都成立。因此，在原点周围存在涡旋运动。（在这个流动中，沿这些圆没有散度，因为沿着一条流线 $r=\mathit{\text{常数}}$ ，有 $\frac{dy}{dx}=\frac{q}{p}$ ，因此 $qdx-pdy=0$ 。）

函数 $\varphi (z)=-i\log z$ 交换了上述例子中 $u$ 和 $v$ 的角色，并且有流线 $$u=\theta =\mathit{\text{常数}},$$ 其速度分量 $p$ 、$q$ 为 $$p=-{\theta }_y,q={\theta }_x.$$ 沿着任何围绕原点的闭合曲线没有环量。然而，通过这样一条曲线的通量是 $$\int qdx-pdy=\int d\theta =2\pi .$$ 这意味着每秒有 $2\pi$ 单位的流体穿过包围原点的任何区域的边界流出。另一方面，通过任何不包含原点的闭合曲线的通量为零。因此，我们可以认为每秒有 $2\pi$ 单位的流体在原点产生并从原点流出。这样的奇点称为流体的 源，如下图所示。

我们可以将通量积分 (4.20) 的值作为源“强度”的度量。

通过考虑函数 $\varphi (z)=i\log z$ ，我们在原点得到一个强度为 $2\pi$ 的“汇”，在那里每秒消失 $2\pi$ 单位的流体。为了表示该流动，我们只需将上图中的箭头方向反向。

流场中其它重要类型的奇点可以通过对数奇点的组合得到。例如，可以立即通过函数 $$\varphi (z)=(a+bi)\log z(a,b\text{ 实常数}).$$ 将上述两种流动类型组合起来。这里，流线和等势线分别由 给出。这些曲线构成了一组正交的对数螺线网，其形式为 $r=\alpha e^{\beta \theta }$ ，其中 $\alpha$ 、$\beta$ 是适当的常数。在包围原点的任何区域中，该流动既具有发散又具有环量，如下图所示。

另一种基本的流动类型由函数 $$\varphi (z)=i\log \frac{z-a}{z-b}=i\log (z-a)-i\log (z-b),$$ 给出，它在 $z=b$ 处有一个强度为 $2\pi$ 的源，并在 $z=a$ 处有一个相应的汇，其流线为 $$u=-\mathrm{am}(z-a)+\mathrm{am}(z-b)=\mathit{\text{常数}}$$ 显然，$u$ 表示线段 $\overline{ab}$ 在点 $z$ 处所张的角，因此曲线族 $u=\mathit{\text{常数}}$ 构成一组通过 $a$ 和 $b$ 的圆束。该图显示了 $b=-1$ 、$a=1$ 时的流动。

它可以通过线性变换 $w=\frac{z-a}{z-b}$ 从源的流动得到，该变换将“无穷远处的汇”带入有限平面。

对于函数 $1/z$ ，在原点处的流动性质很容易从以下事实看出：$$\frac{1}{z}=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{1}{2h}\log \frac{z+h}{z-h})$$ 其中可假定 $h$ 为实数。由 $$\varphi (z)=\frac{-i}{2h}\log \frac{z+h}{z-h}$$ 给出的流动属于上图所示的类型，在 $z=-h$ 处有一个源，在 $z=h$ 处有一个汇，两者的强度均为 $\pi /h$ 。当 $h\to 0$ 时，$\varphi (z)\to 1/z$ ，源和汇在原点重合，它们的强度趋于无穷大，圆束 $u=\mathit{\text{常数}}$ 变得与实轴相切。等势圆则变为类似的圆束与 $y$轴相切。该流动看起来像这样：

这种无限接近的源和汇的组合通常被称为 偶极子，或 双源。这个概念在电学理论中经常遇到。

使用这种方法，通过组合两个或多个双源，也可以得到对应于 $1/z^2$ 、$1/z^3$ 等的流动。下图显示了 $1/z^2$ 在原点附近的流动。