边界条件

弹性力学的15个控制方程构成一个偏微分方程组，该方程组拥有无穷多个解。为了找到对应于特定物理问题的特定解，我们必须施加边界条件，这些条件规定了弹性体表面的物理约束。

对于物体表面上的任意给定点，必须指定两种条件之一。假设物体占据区域 $\mathrm{\Omega }$，其边界表面为 $\mathrm{\Gamma }$。

1. 位移边界条件

该条件规定了表面上各点的位移。它用于模拟物体中固定、夹紧或强制以特定方式运动的部分。

如果边界的一部分，记作 ${\mathrm{\Gamma }}_u$，其位移被指定，则条件写为： $$u_i(x,y,z,t)=u_i^{\ast }$$ 其中 $u_i^{\ast }$ 是该表面上规定的位移向量的已知分量。一个常见的例子是悬臂梁的固定端，其中 $u_i^{\ast }=0$。

2. 牵引力边界条件

该条件规定了作用在表面上的力。这些力由牵引力向量 $𝐭$ 描述，即单位面积上的力。它用于模拟受到压力、分布载荷或接触力的表面。

牵引力向量通过柯西应力关系与表面的内部应力状态相关： $$t_i=n_j{\sigma }_{ji}$$ 或 $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈.$$ 其中 $n_j$ 是指向表面外的单位法向向量的分量，并且对重复指标 $j$ 求和。

如果边界的一部分，记作 ${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$，其牵引力被指定，则条件写为： $$t_i(x,y,z,t)=n_j{\sigma }_{ji}=t_i^{\ast }$$ 或 $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈={𝐭}^{\ast }.$$ 其中 $t_i^{\ast }$ 是规定牵引力向量的已知分量。“自由表面”即无任何力作用的表面，是一个常见且重要的例子，此时 $t_i^{\ast }=0$。

混合边界条件

在大多数工程问题中，边界条件为混合类型。位移在表面的一部分（${\mathrm{\Gamma }}_u$）上规定，而牵引力在其余部分（${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$）上规定。整个边界必须被覆盖，并且这两个区域必须不相交： $$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_u\cup {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{and}{\mathrm{\Gamma }}_u\cap {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }=\mathrm{\varnothing }$$ 控制场方程与一组完整的边界条件一起构成一个适定问题，确保存在唯一解。