弹性力学控制方程

固体力学中任何问题的目标都是确定受到外力作用的整个物体内的位移、应变和应力的分布。这需要一组基于三个核心物理原理的控制方程：力的平衡（平衡方程）、变形的几何关系（运动学）和材料的响应（本构定律）。

对于三维弹性体，我们必须求解物体内每一点 $(x,y,z)$ 处总共 15个未知场量。

15个未知量

这15个未知量可分为三类：

1. 位移向量（3个未知量）： 这些量描述物体中每一点如何移动。
   • $u(x,y,z)$、$v(x,y,z)$、$w(x,y,z)$
2. 应变张量（6个独立未知量）： 这些量描述材料的变形（拉伸和剪切）。应变张量是对称的（${ϵ}_{ij}={ϵ}_{ji}$），因此有6个唯一的分量。
   • 正应变：${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$
   • 剪应变：${ϵ}_{xy},{ϵ}_{yz},{ϵ}_{xz}$
3. 应力张量（6个独立未知量）： 这些量描述作用在材料内部无限小表面上的内力。由于力矩平衡，应力张量也是对称的（${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$），因此也有6个唯一的分量。
   • 正应力：${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz}$
   • 剪应力：${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz}$

未知量总数 = 3（位移）+ 6（应变）+ 6（应力）= 15个量。

为了求解这15个未知量，我们需要同等数量的独立方程，这些方程由连续介质力学的基本定律提供。

15个控制方程

这15个方程源自三个基本原理：

1. 平衡方程（3个方程）

考虑物体内的一个微元体，根据牛顿第二定律（$\mathrm{\Sigma }𝐅=m𝐚$），应力分量满足以下运动方程： $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial z}+\rho b_y=\rho \frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho b_z=\rho \frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}$$ 在上述方程中， 是位移场，$𝐛$ 是单位质量的体力。

平衡方程常用紧凑的指标记法写为 $${\sigma }_{ji,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i,(i=1,2,3)$$ 其中 ${}_{,j}$ 表示对 $x_j$ 的微分，重复指标 $j$ 隐含求和（爱因斯坦记法），上方的双点号表示对时间的二阶导数。

上述方程的另一种写法如下 $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}.$$

2. 运动学（应变-位移）方程（6个方程） 这些是几何关系，用位移向量的导数来定义应变张量的分量。它们适用于小变形假设。 $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}$$ $${ϵ}_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$$ $${ϵ}_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})$$ $${ϵ}_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})$$ 紧凑形式为： $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}),$$ 或 $$𝝐=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }𝝐+\mathrm{\nabla }(𝝐{)}^T].$$ 3. 本构方程 / 广义胡克定律（6个方程） 这些方程通过联系应力与应变来描述材料的固有行为。一般形式为： $${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{ϵ}_{kl}$$ * 注意，重复指标 $k$ 和 $l$ 隐含求和。即， $$C_{ijkl}{ϵ}_{kl}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{C}_{ijkl}{ϵ}_{kl}.$$ 对于线性、各向同性弹性材料，该关系由两个材料常数定义，通常为杨氏模量（$E$）和泊松比（$\nu$）。 $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu ({ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{zz}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{zz}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy})]$$ $${\sigma }_{xy}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xy}$$ $${\sigma }_{yz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{yz}$$ $${\sigma }_{xz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xz}$$ 或紧凑地写为 $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu {ϵ}_{ij},$$ 或 $$𝝈=\lambda (\mathrm{tr}𝝐)𝑰+2\mu 𝝐.$$ #### 总结

线弹性理论是一个封闭且完整的数学框架。我们建立了一个包含 15个未知量 和相应的 15个独立方程 的系统：

• 3个平衡方程
• 6个运动学方程
• 6个本构方程

这种等式确保了问题在数学上是适定的。通过施加适当的边界条件（即指定物体表面上的力或位移），可以确定应力、应变和位移场的唯一解。