纯弯曲

我们现在将艾里应力函数方法应用于固体力学中最基本的问题之一：确定受到纯弯曲力矩作用的棱柱形梁内部的应力状态。尽管该解在基础材料力学中广为人知，但通过弹性理论推导它可以更严格地验证该结果，并突出所涉及的假设。

考虑一个长度为 $L$、高度为 $h$、宽度为 $b$ 的直矩形梁。我们建立一个坐标系，x 轴沿梁的形心轴，y 轴沿其高度方向。梁占据的区域定义为 $-L/2\le x\le L/2$ 和 $-h/2\le y\le h/2$。梁在两端受到纯弯曲力矩 $M$ 的作用。

步骤 1：假设与边界条件

在寻求解之前，有必要陈述我们的初始假设，然后精确地定义应力场在物体所有表面上必须满足的条件。

1. 平面应力假设

典型的梁是一种结构，其长度相对于横截面尺寸较长，且其宽度（$b$）通常与高度（$h$）相当或不会大很多。此外，它仅在 xy 平面内加载。因为梁在 z 方向（宽度）上不是很厚，且在 $z=\pm b/2$ 面上没有施加力，所以物理上可以合理地假设整个物体中沿 z 方向作用的应力分量可以忽略不计。因此，我们假设：$${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$$ 这正是平面应力状态的定义。该假设允许我们使用已建立的二维弹性框架。

2. 边界条件的表述

现在我们可以说明二维模型边界上的条件。

• 顶部和底部表面的条件（$y=\pm h/2$）： 顶部和底部表面不受任何外力作用。这意味着在这些表面上不能有正应力（无垂直压力）和剪应力（无水平摩擦）作用。$$({\sigma }_y{)}_{y=h/2}=0$$ $$({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h/2}=0$$
• 端部的条件（$x=\pm L/2$）： 每端应力分布的合力必须等效于一个纯力矩 $M$。这意味着三个不同的积分条件：
  • 无净轴向力： $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}bdy=0$$
  • 无净剪切力： $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L/2}\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • 净弯曲力矩： 采用正 $M$ 使得 处产生拉应力的约定：$${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=-M$$

步骤 2：提出艾里应力函数的形式

在条件明确后，我们现在寻找一个满足双调和方程 ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$ 的艾里应力函数 $\varphi$。

我们假设 ${\sigma }_y=0$ 处处为零，而不仅仅在边界上。但为什么？推理思路如下：

1. 从边界条件可知，在顶部和底部表面（$y=\pm h/2$）上 ${\sigma }_y=0$。
2. 梁内部没有沿 y 方向作用的体力（如重力）。
3. 在这个纯弯曲问题中，没有任何机制表明会发展出内部垂直应力。
4. 因此，我们可以提出满足边界条件的最简单可能的解是，使得 ${\sigma }_y$ 和 ${\tau }_{xy}$ 在梁内 处处 为零，而不仅仅在表面。

我们来检验这个假设。如果这个简单的应力状态能够满足所有剩余的边界条件，那么根据弹性力学中解的唯一性原理，它必定是正确的解。

将这个假设转化为对 $\varphi$ 的条件：

• 如果 ${\sigma }_y={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}}=0$ 处处成立，那么 $\varphi$ 最多是 $x$ 的线性函数。它可以写成 $\varphi (x,y)=xf(y)+g(y)$。
• 如果 ${\tau }_{xy}=-{\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}}=0$ 处处成立，那么我们形式中 $\varphi$ 的导数必须为零：$-\frac{\partial }{\partial y}(f(y))=0$。这意味着 $f(y)$ 必须是常数。
• 结合这些，我们的函数必须具有形式 $\varphi (x,y)=(\text{常数})\cdot x+g(y)$。然而，弯曲问题关于 $x=0$ 对称，因此我们期望应力与 $x$ 无关。来自 $x$ 项的恒定应力会违反弯矩条件。符合物理规律的最简单形式是假设 $\varphi$ 仅为 $y$ 的函数。

因此，我们提出一个关于 $y$ 的多项式作为候选解：$$\varphi (y)=A{y}^3+B{y}^2+Cy+D$$ 这是一个三次多项式，因此自动满足双调和方程 ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$。

步骤 3：将边界条件应用于提议的解

我们从提出的 $\varphi$ 求出应力，看看它们能否满足所有条件。$${\sigma }_x=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=6Ay+2B$$ $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=0$$ $${\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=0$$ 我们的假设立即满足了顶部和底部表面上 ${\sigma }_y$ 和 ${\tau }_{xy}$ 的条件，也满足了两端净剪切力为零的条件。现在我们检查剩余的两个端部条件，以求出常数 A 和 B。

应用无轴向力条件： $${\int }_{-h/2}^{h/2}{\sigma }_x(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay+2B)bdy=b{[3A{y}^2+2By]}_{-h/2}^{h/2}=2Bbh=0$$ 因为 $b$ 和 $h$ 不为零，这就要求 B = 0。

应用净弯曲力矩条件： 当 B=0 时，我们的正应力现在只是 ${\sigma }_x=6Ay$。$${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x\cdot y)(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay\cdot y)bdy=6Ab{\int }_{-h/2}^{h/2}{y}^{2}dy=-M$$ $$6Ab{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}=2Ab((h/2{)}^3-(-h/2{)}^3)=\frac{Ab{h}^3}{2}=-M$$ 现在可以解出常数 A：$$A=-\frac{2M}{b{h}^3}$$ 回忆矩形截面的惯性矩为 $I={\displaystyle \frac{b{h}^3}{12}}$，我们可以用 I 表示 A：$$A=-\frac{2M}{12I}=-\frac{M}{6I}$$

步骤 4：最终解与验证

基于初始假设，我们已经成功找到了所有系数。纯弯曲的艾里应力函数为：$$\varphi (y)=-\frac{M}{6I}{y}^3$$ 从这个函数，我们导出最终的应力分量：$${\sigma }_x=-\frac{M}{I}y$$ $${\sigma }_y=0$$ $${\tau }_{xy}=0$$ 这个解，从我们猜测的 ${\sigma }_y$ 和 ${\tau }_{xy}$ 处处为零出发，成功满足了问题的 所有 边界条件。这证明了我们的初始假设是正确的，并给出了经典的弯曲公式，由弹性理论严格推导得出。

步骤 3：推导位移场（$u$、$v$）

为了求出位移，我们必须对应变-位移关系进行积分，使用通过平面应力下的胡克定律从应力场确定的应变。

1. 求出应变： $${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{My}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=\frac{\nu My}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=0$$

2. 对应变-位移关系进行积分： 我们从 ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$ 开始。对 $x$ 积分得到：$$u(x,y)=\int -\frac{My}{EI}dx=-\frac{Mxy}{EI}+f(y)$$ 其中 $f(y)$ 是 $y$ 的任意函数，作为积分“常数”。

接下来，由 ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$：$$v(x,y)=\int \frac{\nu My}{EI}dy=\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x)$$ 其中 $g(x)$ 是 $x$ 的任意函数。

3. 利用剪应变耦合方程： 我们利用最终关系 ${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0$ 来求未知函数 $f(y)$ 和 $g(x)$。$$\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{Mxy}{EI}+f(y))+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x))=0$$ 重新排列此方程以分离变量： 左边仅为 $x$ 的函数，而右边仅为 $y$ 的函数。这个等式对所有 $x$ 和 $y$ 都成立的唯一方式是两边等于同一个常数，设为 $C_1$。

4. 组装并约束刚体运动： 将这些代回，一般位移场为：$$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}-C_{1}y+C_3$$ $$v(x,y)=-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}-\frac{M{x}^2}{2EI}+C_{1}x+C_2$$ 常数 $C_1,C_2,C_3$ 代表刚体运动。为了求出它们，我们必须将梁固定在空间中。我们强制原点（$x=0,y=0$）不发生平移，并且中性轴在原点处的斜率为零。* $u(0,0)=0⟹C_3=0$ * $v(0,0)=0⟹C_2=0$ * ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}{|}_{x=0,y=0}={[-{\displaystyle \frac{Mx}{EI}}+C_1]}_{x=0}=C_1=0$

所有三个常数都为零。最终位移场为：$$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}$$ $$v(x,y)=-\frac{M{x}^2}{2EI}-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}$$