平面应变

假设、刚度和控制方程

在固体力学中，另一种降维到二维的方法是平面应变。它用于模拟在一个方向（轴向）上相比另外两个维度非常长的物体，且载荷和几何形状沿该长轴不发生变化。典型的例子是长水坝、隧道或受均匀荷载的挡土墙。

设结构的横截面为 $xy$ 平面，长（轴向）方向为 $z$ 轴。

1. 经典平面应变公式

主要假设：平面应变的核心假设是运动学上的（与变形相关）。对于一个非常长的物体，其两端受约束并沿长度方向均匀加载，假设每个横截面变形相同，并且在长轴方向没有位移。

在数学上，这意味着： $$w(x,y,z)=0$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ 面内位移 u 和 v 仅是 x 和 y 的函数。

从这些运动学假设出发，有三个应变分量立即为零： $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

轴向应力 (σ_zz)：平面应变条件的一个重要后果是，尽管轴向应变 (${ϵ}_{zz}$) 为零，轴向应力 (${\sigma }_{zz}$) 并非为零。由于面内应力引起的泊松效应，材料在 z 方向上收缩或膨胀的趋势在物理上被约束。这种约束产生了反作用应力 ${\sigma }_{zz}$。

根据广义胡克定律中 ${ϵ}_{zz}$ 的表达式： $${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]=0$$ 解出 ${\sigma }_{zz}$ 给出： $${\sigma }_{zz}=\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$ 这表明产生了轴向应力来强制实现零轴向应变的条件。

数学一致性：与平面应力不同，经典平面应变公式是 运动学上一致的。位移假设直接导致所定义的应变状态，不会与三维弹性方程产生任何内部矛盾。该公式不像平面应力那样是一种近似；相反，它代表了理想物理情况（无限长物体）的精确解。

2. 广义平面应变

虽然经典平面应变在数学上是一致的，但其假设 w = 0（因此 ε_zz = 0）具有很强的限制性。例如，它无法模拟两端自由、承受均匀温度变化的长圆柱体，因为该物体需要沿 z 轴膨胀或收缩。

广义平面应变 是一种放松了这一严格约束的扩展。它允许物体发生均匀的轴向伸长和/或弯曲。最简单的形式假定轴向应变为常数： $${ϵ}_{zz}={ϵ}_0(\text{一个常数})$$ 这对应于一个位移场，其中 u 和 v 仍然仅是 x 和 y 的函数，但允许轴向位移 w 是 z 的线性函数。这种公式可以处理涉及净轴向力或均匀热膨胀的问题，同时仍然将问题的控制方程保持为二维。

3. 方程和未知量总结（经典情况）

对于经典平面应变问题 (${ϵ}_{zz}=0$)，该系统在数学上是确定的。

未知量（总计8个）： * 位移 (2)： $u(x,y),v(x,y)$ * 应变 (3)： ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$ * 应力 (3)： ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$ （注意：${\sigma }_{zz}$ 也是一个未知量，但直接由 ${\sigma }_{xx}$ 和 ${\sigma }_{yy}$ 确定，因此在二维解中不是独立未知量）。

控制方程（总计8个）：

1. 平衡方程 (2)： 与平面应力相同。 $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. 运动学（应变-位移）方程 (3)： 与平面应力相同。 $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. 本构方程（平面应变胡克定律）(3)： 这些关系与平面应力不同，因为它们包含了非零 ${\sigma }_{zz}$ 的影响。它们通常使用有效弹性常数来写。应力-应变关系为： $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu {ϵ}_{yy}]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu {ϵ}_{xx}]$$ $${\sigma }_{xy}=G{\gamma }_{xy}(\text{其中 }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

有了8个未知量和8个独立的方程，该系统是封闭且可解的，提供了横截面内二维应力和应变状态的完整描述。

平面应力 vs. 平面应变

1. 平面应力：该条件适用于薄物体，例如在其平面内加载的板。关键假设是垂直于板方向的应力分量在整个厚度上为零： ${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$。应力应变关系为： $${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$
2. 平面应变：该条件适用于非常长或厚的物体，其几何形状和载荷沿长度方向不发生变化。假设长方向的应变为零： ${ϵ}_z={\gamma }_{xz}={\gamma }_{yz}=0$。这一约束意味着可能产生应力 ${\sigma }_z$。由于 $${ϵ}_z=0=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$$ 我们得到$${\sigma }_z=\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)$$因此，面内应力应变关系变为： $${ϵ}_x=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_x-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_y-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$ 其中 $G={\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$ 是剪切模量。

我们可以将两种情况都写为 其中 和 分别是有效杨氏模量和有效泊松比，如下表所示。