平面应力

平面应力是弹性力学中的一种简化，用于建模满足以下条件的物体：

1. 一个维度（厚度）远小于其他两个维度，例如薄板或薄壳
2. 力仅作用在该平面内。

设结构的平面为 $xy$ 平面，厚度方向为 $z$ 轴。

1. 基本假设

平面应力公式包含以下关于应力状态的核心假设：

1. 表面（在 $z=\pm h/2$ 处）的牵引力为零。
2. 由于板很薄，因此假设没有空间在 $z$ 方向产生显著的内应力，也没有与 $z$ 面相关的剪应力。

从数学上讲，这意味着： $${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$$ 因此，非零应力分量（${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$）被假定仅为 $x$ 和 $y$ 的函数，且沿厚度方向均匀分布。

2. 数学上的不一致性

虽然平面应力简化对于薄型工程部件非常有用且精确，但当通过完整的三维弹性理论严格分析时，它包含一个理论上的不一致性。这种不一致性源于应力、应变和位移协调性之间的关系。

泊松效应与面外应变

尽管假设面外应力 ${\sigma }_{zz}$ 为零，但由于泊松效应，面外应变 ${ϵ}_{zz}$ 并不为零。利用广义胡克定律：

$${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

由于 ${\sigma }_{zz}=0$，上式简化为： $${ϵ}_{zz}=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$

由于 ${\sigma }_{xx}$ 和 ${\sigma }_{yy}$ 随 $x$ 和 $y$ 变化，${ϵ}_{zz}$ 在板的平面内也会变化。这意味着板的厚度变化不均匀。

与协调性的冲突

根据应变-位移关系，${ϵ}_{zz}={\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}}$（其中 $w$ 是 $z$ 方向的位移）。对 ${ϵ}_{zz}$ 关于 $z$ 积分（假设关于中面 $z=0$ 对称）得到： $$w=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})z$$ 由于 $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，因此 $w$ 是 $x,y,$ 和 $z$ 的函数。因此，导数 ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ 通常不为零。

现在来看横向剪应变，根据应力假设（${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$），它们必须为零： $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

如果 ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ 和 ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ 不为零，那么为了使这些剪应变为零，面内位移 $u$ 和 $v$ 必须依赖于 $z$。

关于不一致性的结论

面内应力与 $z$ 无关的假设与应变协调性的要求相矛盾。除非 $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ 在 $x$ 和 $y$ 上为常数或线性变化，否则处处满足 ${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$ 的应力状态通常是不可能的。因此，平面应力被视为一种近似解。实际上，假定的应力被当作板厚度方向上的平均值。

3. 方程与未知量

尽管在 $z$ 方向存在理论上的不一致性，二维平面应力问题在数学上是确定的。我们只关注 $xy$ 平面内的变量。

未知量（总计：8 个）

为了完全求解二维场问题，我们需要确定 8 个场变量（均为 $x$ 和 $y$ 的函数）：

• 位移（2 个）： $u(x,y),v(x,y)$
• 应变（3 个）： ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$
• 应力（3 个）： ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$

控制方程（总计：8 个）

为了求解这 8 个未知量，我们利用弹性力学的 8 个基本方程（为简单起见，忽略体力）：

1. 平衡方程（2 个）： 由牛顿第二定律（静力学）推导。 $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. 几何（应变-位移）方程（3 个）： 基于变形几何。 $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. 本构方程（平面应力胡克定律）（3 个）： 关联应力与应变。注意由于 ${\sigma }_{zz}=0$ 条件，$E$ 有所修正。 $${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}({\sigma }_{xx}-\nu {\sigma }_{yy})$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}({\sigma }_{yy}-\nu {\sigma }_{xx})$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\sigma }_{xy}(\text{其中 }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

由于有 8 个未知量 和 8 个独立方程，只要施加适当的边界条件，该方程组就是封闭且可求解的。