单轴拉伸

考虑一个二维平面应力问题，涉及一根长矩形梁，在其两端承受均匀的拉伸力 $p$，如下图所示。

这种情况可以看作是对更一般的非均匀端部加载情况的圣维南近似。在这种解释中，实际的分布端部牵引力被静力等效的均匀力所替代，所得解在远离加载端部的区域是有效的。

边界条件

该问题的边界条件可以写为

$$({\sigma }_x{)}_{x=\pm L}=p,({\sigma }_y{)}_{y=\pm h}=0,({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h}=({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L}=0.$$

艾里应力函数

由于边界牵引力沿每个边是恒定的，我们预期应力场是均匀的。因此，我们可以假设一个二次的艾里应力函数，形式为

$$\varphi =a_{02}{y}^2.$$

根据这个表达式，应力分量为

$${\sigma }_x=2a_{02},{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=0.$$

应用边界条件 ${\sigma }_x=p$ 在 $x=\pm l$ 处，得到

$$a_{02}=\frac{p}{2}.$$ 和 $$\varphi =\frac{p}{2}{y}^2.$$ 因此，完整的应力场为

$${\sigma }_x=p,{\sigma }_y={\tau }_{xy}=0.$$

所有边界条件都完全满足，并且这个均匀场表示一种单轴拉伸状态。

相关的位移场

接下来，我们确定与这个均匀应力状态相对应的位移场。
使用平面应力胡克定律，应变由下式给出 $${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{p}{E},{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=-\frac{\nu p}{E}.$$ $${\tau }_{xy}=0$$

根据应变-位移关系， $${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y},$$ 我们得到位移梯度： $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p}{E},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\nu p}{E}.$$

对这些表达式关于各自的变量进行积分，得到 $$u=\frac{p}{E}x+f(y),v=-\frac{\nu p}{E}y+g(x),$$

其中 $f(y)$ 和 $g(x)$ 是积分“常数”，将通过剪应变关系确定。

确定 f(y) 和 g(x)

对于平面应力，剪应变与位移的关系为 $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$

由于 ${\tau }_{xy}=0$，胡克定律给出 ${\gamma }_{xy}=0$，因此 $$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

代入 u 和 v 的表达式，得到

因为每一边依赖于不同的变量，所以两者都必须是常数：

积分后，我们得到 $$f(y)=-cy+u_0,g(x)=cx+v_0,$$

其中 $c$ 表示刚体转动，而 $u_0,v_0$ 分别是沿 $x$ 和 $y$ 方向的刚体平动。

位移场的最终形式

将这些表达式代入前面的结果中，得到完整的位移场： $$u=\frac{p}{E}x-cy+u_0,v=-\frac{\nu p}{E}y+cx+v_0.$$

常数 $c,u_0,$ 和 $v_0$ 对应于刚体运动，对应变或应力没有贡献。因此，物理位移只能确定到任意一个刚体平动和转动。

为了确定 $c,u_0$ 和 $v_0$，我们需要施加一个附加条件。例如，我们可以假设梁的中心点不动：$u(0,0)=v(0,0)=0$。