真实应变与真实应力

工程应力-应变曲线不能准确代表材料的变形行为，因为它使用试样的原始尺寸计算，而这些尺寸在测试过程中不断变化。例如，在诸如拉丝等金属加工操作中，工件的横截面积显著减小。因此，基于瞬时尺寸定义应力和应变更有意义。由于在弹性范围内尺寸变化很小，因此先前的讨论中这种区分是不必要的。

真实应变与工程应变

方程

其中 $L_{0}$ 是两个标距标记之间的初始距离， $L$ 是它们之间的当前距离，描述了常规的单位线应变概念，即相对于原始单位长度的长度变化。

$e = \frac{Δ L}{L_{0}} = \frac{1}{L_{0}} \int_{L_{0}}^{L} d L$

这种称为工程应变或名义应变的应变定义，对于 $Δ L$ 非常小的弹性应变是令人满意的。然而，在塑性变形中，应变通常很大，并且在延伸过程中，标距长度显著变化。Ludwik于1909年首次提出了真实应变，或自然应变， $ϵ$ ，从而避免了这一困难。在这个应变定义中，长度变化是参照瞬时标距长度，而不是原始标距长度。

或

真实应变与常规线应变的关系由式（1）得出。

$e = \frac{Δ L}{L_{0}} = \frac{L - L_{0}}{L_{0}} = \frac{L}{L_{0}} - 1$ $e + 1 = \frac{L}{L_{0}}$

两种应变测量在应变约达到0.1时，给出的结果几乎相同。

因为体积在塑性变形过程中基本保持恒定，式（3）可以用长度或面积来表示。

同样，由于体积恒定，三个主应变的总和等于零。

该关系对于主常规应变不成立。

使用真实应变的优点从以下示例中应显而易见：

考虑一根均匀圆柱体，被拉长至原长的两倍。线应变为 $e = (2 L_{0} - L_{0}) / L_{0} = 1.0$ ，即100%的应变。为了在压缩中达到相同大小的负线应变，该圆柱体将不得不被压缩到零厚度。然而，直觉上我们应期望将圆柱体压缩至原长一半所产生的应变，与将其拉长至原长两倍所产生的应变大小相同，只是符号相反。如果使用真实应变，则两种情况可以得到等效。对于拉长至原长两倍， $ϵ = \ln (2 L_{0} / L_{0}) = \ln 2$ 。对于压缩至原长一半，

$ϵ = \ln [(L_{0} / 2) / L_{0}] = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2.$

真实应力与工程应力

在分析材料的力学行为时，区分应力的两个关键定义至关重要。虽然这两种度量在变形很小的弹性区域内几乎相同，但在塑性变形过程中，它们的值会显著偏离。

定义 1.

1. 工程应力 (s) ^[1]
也称为名义或常规应力，这是基础力学中最常用的度量。它通过将施加的载荷 (P) 除以试样的原始、未变形的横截面积 (A₀) 来计算。该面积是在试验开始前测得的恒定值。

2. 真实应力 (σ) ^[2]
真实应力在任何给定时刻都提供了材料内部应力更为准确的物理度量。它定义为施加的载荷 (P) 除以试样的瞬时、实际横截面积 (A)。该面积在试验过程中随着材料伸长和颈缩而不断变化。

工程曲线与真实曲线：视觉对比

下图比较了两种常见结构合金的工程与真实应力-应变曲线。有几个特征值得注意。

Engineering (solid) vs. true (dashed)
stress-strain curves for AISI 1018 cold-drawn steel (blue) and
6061-T6 aluminum (red). The engineering curves fall after the ultimate
tensile strength (UTS) once necking begins; the true curves continue to
rise to fracture, reflecting ongoing strain hardening in the material. — 图1 AISI 1018冷拔钢（蓝色）和6061-T6铝（红色）的工程（实线）与真实（虚线）应力-应变曲线。一旦颈缩开始，工程曲线在极限抗拉强度（UTS）之后下降；真实曲线则继续上升直至断裂，反映了材料中持续的应变硬化。

在弹性区域（大约低于1%应变），每种材料的两条曲线几乎重合在一起，这证实了在小变形下，工程度量与真实度量可以互换。一旦显著的塑性流动开始，曲线便发生偏离。对于钢，工程曲线在约6%工程应变下达到峰值约440 MPa（极限抗拉强度），然后降至断裂时的约330 MPa。同样断裂点处的真实应力约为545 MPa（高出近65%），因为迅速缩小的颈缩面积使得σ = P/A即使在载荷P下降时也增大。铝表现出相同的定性行为，其真实断裂
应力（约415 MPa）显著超过工程UTS（~310 MPa）。

推导真实应力与工程应力之间的关系

我们可以推导出一个直接的数学关系，将容易测量的工程应力转换为物理意义更强的真实应力。该转换依赖于塑性变形过程中材料行为的一个关键假设。

我们从真实应力的定义开始，通过简单的代数变换引入工程应力项。我们将方程乘以 $A_{0} / A_{0}$ ，这相当于乘以1：

$σ = \frac{P}{A} = \frac{P}{A_{0}} \cdot \frac{A_{0}}{A}$

注意，项 $P / A_{0}$ 正是工程应力 $s$ 的定义。因此，我们可以写为：

$σ = s (\frac{A_{0}}{A})$

由于在整个试验过程中试样的体积保持恒定，我们有 A₀L₀ = AL，因此可以写为

$σ = s \frac{L}{L_{0}}$

因为

$e = \frac{L - L_{0}}{L_{0}} = \frac{L}{L_{0}} - 1$ $\Rightarrow \frac{L}{L_{0}} = 1 + e$

我们得到

例 1.

例：对一个初始直径为15 mm的金属试样进行拉伸试验。试样达到最大载荷125 kN，然后在105 kN载荷下断裂。断裂时颈缩区域的直径测量为12.5 mm。确定最大载荷时的工程应力（极限抗拉强度）、真实断裂应力、断裂时的真实应变以及断裂时的工程应变。

最大载荷时的工程应力

真实断裂应力

断裂时的真实应变

断裂时的工程应变

ϵ = \ln (1 + e) \Rightarrow \exp (ϵ) = (1 + e)

e = \exp (ϵ) - 1

e_{f} = \exp (0.365) - 1 = 1.44 - 1.00 = 0.44

工程应力概念的3D推广称为第一Piola-Kirchhoff应力。 ↩
真实应力即我们所说的柯西应力。 ↩