应力分量

无数平面可以经过点 $P$ ，每个平面都有其自身的法向量 $\hat{𝐧}$ 和对应的牵引向量 $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ 。这些配对的全体定义了 $P$ 点的应力状态。在下一节中，我们将展示只需知道三个相互垂直平面上的牵引向量，就可以完全确定应力状态。也就是说，如果我们知道三个相互垂直平面上牵引向量的分量，我们就可以确定任意平面上的牵引向量。

设这三个平面的单位法向量为基向量 ${\hat{𝐞}}_{1}$ 、 ${\hat{𝐞}}_{2}$ 和 ${\hat{𝐞}}_{3}$ 。^[1]垂直于x₁轴的平面上的牵引向量是 $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{1})}$ 。为简便起见，我们将 $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{i})}$ 记为 $𝐭^{(i)}$ 。由于每个 $𝐭^{(i)}$ 都是一个向量，它在基中有三个分量：

我们将向量 $𝐭^{(i)}$ 的第j个分量记为 $σ_{i j}$ 。这九个标量值就是柯西应力张量的分量。它们通常排列成矩阵：

[𝝈] = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}]

如果平面的法向量是 ${\hat{𝐞}}_{1}$ ，则分量 $t_{1}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{1} = σ_{11} {\hat{𝐞}}_{1}$ 垂直于表面，而 $t_{2}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{2} = σ_{12} {\hat{𝐞}}_{2}$ 和 $t_{3}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{3} = σ_{13} {\hat{𝐞}}_{3}$ 是剪切分量。

通常，对角分量 $σ_{i i}$ （ $σ_{11}$ 、 $σ_{22}$ 、 $σ_{33}$ ）称为正应力，而非对角分量 $σ_{i j}$ （ $i \neq j$ ）（如 $σ_{12}$ 、 $σ_{13}$ 等）称为剪应力。

其他记号

应力张量矩阵的其他常见记号包括：

[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}], [\begin{matrix} τ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & τ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & τ_{z z} \end{matrix}],

以及工程记号，正应力用 $σ$ 表示，剪应力用 $τ$ 表示：

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}]

应力单位

在国际单位制（SI）中：

力以牛顿（N）为单位
面积以平方米（m $^{2}$ ）为单位
因为应力等于力除以面积，所以应力的单位是N/m $^{2}$ 。这个单位称为帕斯卡，记作Pa：
$1 Pa = 1 {N/m}^{2}$
由于一帕斯卡非常小，应力常用以下单位表示：
- kPa = 千（10 $^{3}$ ）帕斯卡，
- MPa = 兆（10 $^{6}$ ）帕斯卡
- GPa = 吉（10 $^{9}$ ）帕斯卡

在美国惯用单位制中：

力以磅（lb）为单位
面积以平方英寸（in $^{2}$ ）为单位
应力以磅每平方英寸（psi）或千磅每平方英寸（ksi）表示 $1 ksi = 10^{3} psi = 10^{3} {lb/in}^{2} .$

符号约定

一个面，如果其外法向量与坐标轴正方向一致，则定义为正面；如果其外法向量与坐标轴负方向一致，则定义为负面。

如果一个应力分量作用在正面的正坐标方向，或者作用在负面的负坐标方向，则该应力分量被认为是正的。这一约定的一个重要结果是，拉伸正应力为正，压缩应力为负。

或记为 $\hat{𝐢}$ 、 $\hat{𝐣}$ 和 $\hat{𝐤}$ 。 ↩