Constantes, Variáveis e Parâmetros

Tensões Normais na Flexão

No Art. 30, foi afirmado que em uma viga submetida à flexão pura (isto é, atuada apenas por binários de extremidade) as forças internas são normais à seção transversal. Se forças transversais estiverem presentes, então geralmente se estabelece na seção transversal um sistema de forças de cisalhamento, bem como um sistema de forças normais. É preocupação deste capítulo estudar a distribuição dessas forças internas e calcular suas intensidades. A consideração desses dois tipos de tensão será tratada inteiramente separadamente: a questão das tensões normais (variadamente chamadas de tensões de flexão ou de fibra) será tratada primeiro.

Imagine, então, uma viga submetida à flexão pura. Para encontrar a distribuição dessas forças internas sobre a seção transversal, a deformação da barra deve ser considerada. Para o caso simples de uma barra que possui um plano longitudinal de simetria com os binários de flexão externos atuando neste plano, a flexão ocorrerá neste mesmo plano. Se a barra for de seção transversal retangular e duas linhas verticais adjacentes $mm$ e $pp$ forem desenhadas em seus lados, o experimento direto mostra que essas linhas permanecem retas durante a flexão e giram de modo a permanecerem perpendiculares às fibras longitudinais¹ da barra (Fig. 130). A seguinte teoria da flexão baseia-se na suposição de que não apenas linhas como $\mathrm{mm}$ permanecem retas, mas que:

1. A seção transversal inteira da barra, originalmente plana, permanece plana e normal às fibras longitudinais da barra após a flexão.
2. O material é homogêneo e obedece à lei de Hooke.
3. Cada fibra longitudinal atua como se estivesse separada de todas as outras fibras, ou seja, não há pressões laterais nem tensões de cisalhamento entre as fibras.
4. A viga é reta e de seção transversal uniforme.
5. Os módulos de elasticidade em tração e compressão são iguais.

O experimento mostra que a teoria baseada nessas suposições fornece resultados muito precisos para a deflexão de barras e a deformação de fibras longitudinais. Da primeira suposição, segue-se que durante a flexão as seções transversais $mm$ e $pp$ giram uma em relação à outra em torno de eixos perpendiculares ao plano de flexão, de modo que as fibras longitudinais no lado convexo sofrem extensão e aquelas no lado côncavo, compressão. A linha $nq$ é o traço da superfície na qual as fibras não sofrem deformação durante a flexão. Esta superfície é chamada de superfície neutra e sua interseção com qualquer seção transversal é chamada de eixo neutro. O alongamento $st$ de qualquer fibra, à distância $y$ abaixo da superfície neutra, é obtido desenhando a linha $qs$ paralela a $mm$ (Fig. 130a). Denotando por $\rho$ o raio de curvatura do eixo defletido² da barra e usando a semelhança dos triângulos $nOq$ e $tqs$, o alongamento unitário da fibra $rs$ é:

$${ϵ}_x=\frac{st}{nq}=\frac{qs}{nO}=-\frac{y}{\rho }$$

O sinal de menos na eq. (a) é necessário para que um valor negativo de $y$ ( $qt$ na Fig. 130a) torne ${ϵ}_x$ positivo quando for uma deformação de tração correspondente, por exemplo, a $st$ na figura. Pode-se ver que as deformações das fibras longitudinais são proporcionais à distância $y$ da superfície neutra e inversamente proporcionais ao raio de curvatura. ${}^3$

[Insira a Figura 130 aqui]

Das deformações das fibras longitudinais, as tensões correspondentes seguem da lei de Hooke, ${\sigma }_x=E{ϵ}_x$, e:

$${\sigma }_x=-\frac{Ey}{\rho }.$$

A distribuição dessas tensões é mostrada na Fig. 131. A tensão em qualquer fibra é proporcional à sua distância do eixo neutro $nn$. A posição do eixo neutro e o raio de curvatura $\rho$, as duas incógnitas na eq. (51), podem agora ser determinados a partir da condição de que as forças distribuídas sobre qualquer seção transversal da barra devem dar origem a um binário resistente que equilibra o binário externo $M$ (ver Art. 30).

[Insira a Figura 131 aqui]

O momento da força no elemento acima em relação ao eixo neutro é³:

$$dM=-ydF=-y(-\frac{Ey}{\rho }dA)$$ Somando tais momentos sobre a seção transversal e igualando a resultante ao momento $M$ das forças externas, obtém-se a seguinte equação para determinar o raio de curvatura $\rho$: $$M=\int \frac{E}{\rho }{y}^{2}dA=\frac{E{I}_z}{\rho }\text{ or }\frac{1}{\rho }=\frac{M}{E{I}_z},$$ onde $$I_z=\int y^{2}dA$$ é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro $Z$. Da eq. (60) vê-se que a curvatura $1/\rho$ varia diretamente com o momento fletor e inversamente com a quantidade $E{I}_z$, que é chamada de rigidez à flexão da barra. A eliminação de $\rho$ das eqs. (59) e (60) fornece a seguinte equação para as tensões:

$${\sigma }_x=-\frac{My}{I_z}$$ Na eq. (61) $M$ é positivo quando produz uma deflexão da barra convexa para baixo, como na Fig. 130; $y$ é positivo para cima.

As tensões máximas de tração e compressão ocorrem nas fibras mais externas e essas tensões máximas são dadas pela fórmula obtida da eq. (61):

$${\left({\sigma }_x\right)}_{max}=-\frac{Mc}{I_z}$$

onde $c$ é a distância em polegadas até a fibra externa que está sendo investigada. Quando o eixo neutro é um eixo de simetria, $c$ é o mesmo para as fibras de tração e compressão.

Em grande parte do trabalho neste livro, não resultará confusão se os subscritos forem removidos de ${\sigma }_x$ e $I_x$ e o sinal de menos omitido. Isso resultará na simplificação da fórmula (c) e a colocará em acordo com a usada por engenheiros praticantes neste país, a saber,

$$\sigma =\frac{Mc}{I}.$$

Fica assim entendido que $s$ é a tensão normal paralela ao eixo longitudinal da viga, $M$ é o momento fletor em pol. lb., $c$ é a distância em polegadas até a fibra extrema e $I$ é o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo neutro expresso em unidades de pol. 4. Se for necessário determinar se uma tensão é de tração ou compressão, isso pode ser facilmente encontrado imaginando se a fibra está sendo estendida ou contraída pela ação da flexão.

A quantidade $I/c$ é chamada de módulo de resistência da seção e é frequentemente denotada por $S$ ou $Z$, que é em unidades de pol. ${}^3$. A fórmula (62) pode ser expressa como:

$$\sigma =\frac{\text{momento fletor}}{\text{módulo de resistência}}$$

No caso de uma seção transversal retangular (Fig. 130b) temos:

$$I=\frac{b{h}^3}{12};\frac{I}{c}=\frac{b{h}^2}{6}$$

Para uma seção transversal circular de diâmetro $d$:

$$I=\frac{\pi d^4}{64};\frac{I}{c}=\frac{\pi d^3}{32}$$

Para as seções de perfil usadas em projeto estrutural, as magnitudes de $I$ e $I/c$ são tabeladas em manuais.

A derivação precedente da eq. (61) foi para o caso de uma seção transversal retangular. Percebe-se facilmente que os mesmos resultados também são válidos para qualquer seção transversal que possua um plano longitudinal de simetria. Se os binários de flexão externos atuarem em tal plano, o binário interno também deve atuar