Energia de Deformação

Energia Interna e a Primeira Lei da Termodinâmica

Quando forças externas são aplicadas a um corpo deformável, essas forças realizam trabalho sobre o corpo. De acordo com a primeira lei da termodinâmica, o trabalho realizado sobre o sistema pelas forças externas, $\delta W$, e o calor que flui para o sistema, $\delta Q$, é igual à variação da sua energia interna, $\delta U$, e energia cinética, $\delta K$: $$\delta W+\delta Q=\delta U+\delta K.$$

Sob condições adiabáticas ($\delta Q=0$) e equilíbrio quase-estático ($\delta K=0$), isso se reduz a: $$\delta W=\delta U$$ Portanto, o trabalho externo infinitesimal realizado sobre o corpo é inteiramente armazenado como energia interna.

Trabalho Virtual das Forças Externas

Seja o campo de deslocamento no corpo $$𝐮=(u,v,w)$$ e seja $$\delta 𝐮=(\delta u,\delta v,\delta w)$$ os deslocamentos virtuais infinitesimais, que são variações pequenas arbitrárias no campo de deslocamento consistentes com as condições de contorno.

As correspondentes deformações virtuais infinitesimais são obtidas a partir dos gradientes dos deslocamentos virtuais: $$\delta {ϵ}_{xx}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial x},\delta {ϵ}_{yy}=\frac{\partial (\delta v)}{\partial y},\delta {ϵ}_{zz}=\frac{\partial (\delta w)}{\partial z}$$ e as deformações de cisalhamento: $$\delta {\gamma }_{xy}=\frac{\partial (\delta u)}{\partial y}+\frac{\partial (\delta v)}{\partial x},\text{etc.}$$

O trabalho externo realizado pelas forças externas consiste em duas partes: 1. O trabalho das forças de superfície, $\delta W_S$, e
2. O trabalho das forças de corpo, $\delta W_B$.

Assim, $$\delta W=\delta W_S+\delta W_B$$

O trabalho das forças de corpo é dado por $$\boxed{\delta W_B={\int }_V\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV}$$ onde $𝐛=[b_x,b_y,b_z]$ é a força de corpo por unidade de massa.

O trabalho das forças de superfície é dado por $$\boxed{\delta W_S={\int }_s𝐭\mathbf{\cdot }\widehat{𝐧}dS}$$

Para um elemento de superfície com normal externa
$$𝐧=[n_x{n}_y{n}_z],$$ o vetor de tração é definido como: $$𝐭=𝐧\cdot 𝝈$$ onde $𝝈$ é a matriz de tensão de Cauchy:

e o deslocamento virtual é o vetor coluna: $$\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}\delta u\\ \delta v\\ \delta w\end{array}\right].$$

Portanto, o trabalho virtual na superfície é: $$\boxed{\delta W_S={\int }_S𝐭\cdot \delta 𝐮dS={\int }_S(𝐧𝝈)\delta 𝐮dS}$$

Expandindo este termo explicitamente como mostrado na sua derivação:

Defina o vetor $$𝐅=𝝈\delta 𝐮=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\delta u+{\sigma }_{xy}\delta v+{\sigma }_{xz}\delta w\\ {\sigma }_{yx}\delta u+{\sigma }_{yy}\delta v+{\sigma }_{yz}\delta w\\ {\sigma }_{zx}\delta u+{\sigma }_{zy}\delta v+{\sigma }_{zz}\delta w\end{array}\right],$$ então $$\boxed{𝐭\cdot \delta 𝐮=n_x{F}_x+n_y{F}_y+n_z{F}_z}$$ Isso mostra claramente que a expressão $𝐭\cdot \delta 𝐮$ atua como o produto escalar do vetor normal $𝐧$ com o vetor $𝐅=𝝈\delta 𝐮$.

Usando o Teorema da Divergência

Aplique o teorema da divergência para converter a integral de superfície em uma integral de volume: $$\boxed{{\int }_S(F_x{n}_x+F_y{n}_y+F_z{n}_z)dS={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV}$$

Portanto, $$\delta W_S={\int }_V(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$$

Como $$\frac{\partial {\sigma }_{xi}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yi}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zi}}{\partial z}+\rho b_i=0,$$ concluímos que $$\delta W={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$ 

Densidade de Energia de Deformação

Segue da primeira lei da termodinâmica sob condições adiabáticas e estáticas ($\delta W=\delta U$) que $$\delta U={\int }_V({\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz})dV.$$

A variação da energia interna (devido às forças mecânicas) por unidade de volume é chamada de densidade de energia de deformação, denotada por $U_0$: $$\delta U={\int }_V\delta U_{0}dV.$$

Comparando as duas últimas equações, obtemos $$\delta U_0={\sigma }_{xx}\delta {ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}\delta {ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}\delta {ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}\delta {\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}\delta {\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}\delta {\gamma }_{yz}.$$

A equação acima pode ser expressa na forma diferencial como $$\boxed{d{U}_0={\sigma }_{xx}d{ϵ}_{xx}+{\sigma }_{yy}d{ϵ}_{yy}+{\sigma }_{zz}d{ϵ}_{zz}+{\sigma }_{xy}d{\gamma }_{xy}+{\sigma }_{xz}d{\gamma }_{xz}+{\sigma }_{yz}d{\gamma }_{yz}.}$$

Observe que os termos envolvendo as deformações de cisalhamento podem ser escritos como a soma de duas componentes correspondentes às deformações de cisalhamento tensoriais ${ϵ}_{ij}$.
Por exemplo: $${\sigma }_{xy}{\gamma }_{xy}={\sigma }_{xy}{ϵ}_{xy}+{\sigma }_{yx}{ϵ}_{yx}.$$

Portanto,

Segue da expressão acima que

Referências

1. Boresi, A. P., Schmidt, R. J., & Sidebottom, O. M. (1993). Mecânica avançada dos materiais (6ª ed.). John Wiley & Sons.
2. Malvern, L. E. (1969). Introdução à mecânica dos meios contínuos. Prentice Hall.
3. Sokolnikoff, I. S. (1956). Teoria matemática da elasticidade (2ª ed.). McGraw-Hill.