Eigenstrains and Residual Stresses

Em mecânica dos sólidos, frequentemente encontramos deformações não elásticas. Exemplos de deformações não elásticas incluem:

Expansão térmica: Alterações reversíveis de volume ou forma causadas por um aumento ou diminuição da temperatura.
Deformações plásticas: Deformações permanentes e irreversíveis que permanecem após a remoção de cargas que induziram o escoamento (muitas vezes devido ao movimento de um tipo de defeito unidimensional, chamado discordâncias).
Deformações iniciais:
Deformações iniciais representam o estado de deformação que já existe em um material antes de qualquer nova carga externa ou análise atual ser aplicada. Normalmente encontramos deformações iniciais como resultado do histórico de fabricação ou processamento do material. Em vez de simular todo o histórico de como uma peça foi feita, os engenheiros tratam a deformação residual como uma "deformação inicial" de referência.
Deformações de discordância:
Deformações de discordância ocorrem em escala microscópica quando uma partícula estranha ou uma nova fase se forma dentro de um material hospedeiro, mas seu tamanho geométrico natural ou espaçamento de rede não combina perfeitamente com a rede atômica circundante. Como os dois materiais estão ligados, eles são forçados a se esticar ou comprimir para se ajustarem um ao outro.
- Exemplo: No alumínio endurecido por precipitação (como o alumínio usado em aeronaves), átomos de cobre se agrupam para formar pequenos "precipitados" dentro da rede de alumínio. O espaçamento cristalino natural desses precipitados ricos em cobre é ligeiramente diferente da matriz de alumínio circundante. A diferença puramente geométrica entre o tamanho natural do precipitado e o "buraco" que ele ocupa na matriz de alumínio é a deformação de discordância. Outro exemplo clássico é a dopagem em semicondutores, onde a substituição de um átomo maior (como o fósforo) em uma rede de silício cria uma deformação de discordância local.

Toshio Mura geralmente se referia a essas deformações não elásticas como eigenstrains. J.D. Eshelby (1957) originalmente as denominou "tensões livres de tensão". Alguns pesquisadores também as chamam de "deformações intrínsecas". Neste texto, usaremos a terminologia de Mura e denotaremos o tensor de eigenstrain por $ϵ_{i j}^{*}$ .

Quando eigenstrains localizadas se desenvolvem dentro de um corpo, o princípio da compatibilidade do contínuo exige que o material não possa se rasgar ou sobrepor fisicamente. Como resultado, o material circundante é forçado a se esticar, comprimir ou curvar para acomodar a deformação e garantir um encaixe perfeito. As tensões internas necessárias para manter essa compatibilidade forçada são chamadas de eigenstresses. Como nenhuma força externa é aplicada, esse estado de tensão interna deve se equilibrar perfeitamente em toda a peça, tornando-se autoequilibrante. Na prática da engenharia, essas tensões internas autoequilibradas, geralmente resultantes de processos de fabricação ou escoamento plástico, são mais comumente conhecidas como tensões residuais.

(Nota: O prefixo "eigen" vem do alemão e significa "próprio" ou "inerente". É importante esclarecer que eigenstrains e eigenstresses não têm absolutamente nada a ver com os autovalores matemáticos dos tensores de deformação ou tensão. Como discutimos, esses autovalores representam as deformações principais e tensões principais, que são as deformações ou tensões normais em um sistema de coordenadas específico onde as componentes de cisalhamento são zero. Observe que em materiais anisotrópicos, esses dois sistemas de coordenadas não necessariamente se alinham.)

Exemplo de uma Eigenstrain

Suponha que a temperatura de uma inomogeneidade (região Ω) contida em um bloco de material maior e sem restrições aumente em ΔT. A inomogeneidade "quer" se expandir. Se estivesse completamente livre e sem vínculos, experimentaria uma deformação térmica puramente livre de tensões. Para um material isotrópico, essa eigenstrain é escrita como:

ϵ_{i j}^{*} = α δ_{i j} Δ T,

onde α é o coeficiente de expansão térmica e δ_ij é o delta de Kronecker (que é igual a 1 se i = j, e 0 se i ≠ j). Isso supõe que a expansão é uniforme em todas as direções normais. Se o material for anisotrópico, a expansão depende da orientação, e αδ_ij é substituído por um tensor de expansão térmica geral α_ij.

A 2D scientific diagram representing a material domain. A large, light-blue irregular shape represents the matrix, labeled with the letter 'D'. Centered inside it is a smaller, irregular yellow shape representing an inclusion or inhomogeneity, labeled with the Greek letter 'Ω'. Both shapes are outlined with clean black strokes against a white background.

Eigenstrains Fictícias (O Método da Inclusão Equivalente)

É importante notar que as eigenstrains nem sempre são deformações físicas literais; elas também podem ser empregadas como uma ferramenta matemática altamente eficaz. Na micromecânica, os engenheiros frequentemente analisam inhomogeneidades, regiões dentro de um material que possuem uma rigidez elástica diferente da matriz circundante. Calcular o campo de tensão ao redor desses materiais com propriedades diferentes sob uma carga externa aplicada é matematicamente complicado. No entanto, J.D. Eshelby (1957) demonstrou uma solução engenhosa: podemos substituir matematicamente a partícula "estranha" pelo material hospedeiro original, desde que introduzamos uma eigenstrain fictícia puramente teórica (frequentemente chamada de eigenstrain equivalente) nessa região. Essa eigenstrain fictícia é calculada com precisão para que os campos de tensão e deformação resultantes correspondam perfeitamente à realidade da partícula rígida. Esse salto conceitual, conhecido como o Método da Inclusão^[1] Equivalente, é um pilar da mecânica dos compósitos porque permite que os pesquisadores resolvam problemas complexos com múltiplos materiais usando as equações muito mais simples de um material uniforme e homogêneo.

A technical illustration showing the Eshelby Equivalent Inclusion Method. Two side-by-side figures are separated by a mathematical equivalence symbol (≣). Each figure shows a blue 3D ellipsoid with internal axes, embedded in a light blue field. The entire system is surrounded by black arrows representing a remote stress field, labeled σij. The left ellipsoid is labeled with the stiffness tensor C ijkl of Ω (representing an inhomogeneity), while the right ellipsoid is labeled with the eigenstrain (representing the equivalent inclusion).

Decomposição da Deformação

Ao lidar com deformações infinitesimais, a deformação total 𝜖_ij pode ser decomposta aditivamente em deformação elástica $ϵ_{i j}^{p l}$ e eigenstrain $ϵ_{i j}^{*}$ :

ϵ_{i j} = ϵ_{i j}^{e l} + ϵ_{i j}^{*} .

É crucial distinguir entre essas três deformações:

Deformação total (𝜖_ij): Esta é a deformação geométrica física real do material. Como o material deve permanecer contínuo (sem rasgos ou sobreposições), a deformação total deve ser compatível. Isso significa que ela é derivada diretamente de um campo de deslocamento contínuo u_i:
$ϵ_{i j} = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial u_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}})$
Eigenstrain (𝜖*_ij): A mudança de forma inerente, livre de tensões, que o material deseja sofrer.
Deformação elástica (𝜖_ij^el): A deformação devida a forças aplicadas ou tensões internas.

Lei de Hooke com Eigenstrains

Em um material elástico linear, o tensor de tensão é uma função linear da deformação elástica. Portanto, temos

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l},

Substituindo a decomposição da deformação nesta equação obtemos a relação entre tensão, deformação total e eigenstrain:

σ_{i j} = \sum_{k = 1}^{3} \sum_{l = 1}^{3} C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

Usando a notação de índices, onde a soma sobre os índices repetidos k e l está implícita, as equações acima em mecânica dos sólidos são escritas como:

σ_{i j} = C_{i j k l} ϵ_{i j}^{e l} = C_{i j k l} (ϵ_{i j} - ϵ_{i j}^{*}) .

Referências

Eshelby, J. D. (1957). A determinação do campo elástico de uma inclusão elipsoidal e problemas relacionados. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 241(1226), 376–396. https://doi.org/10.1098/rspa.1957.0133
Korsunsky, A. M. (2017). Um ensaio didático sobre tensões residuais e eigenstrains. Butterworth-Heinemann.
Mura, T. (1987). Micromecânica dos defeitos em sólidos (2ª ed. rev.). Springer.