O processo de montagem: o método da superposição direta

A matriz de rigidez de toda a estrutura (a matriz de rigidez “global”) é formada pela combinação das matrizes de rigidez de cada elemento individual. Este processo é chamado de montagem. A ideia fundamental é que a rigidez total em qualquer grau de liberdade é a soma das contribuições de rigidez de todos os elementos conectados a esse grau de liberdade.

Podemos entender isso intuitivamente considerando um sistema simples de duas molas em série.

Exemplo: Duas Molas em Série

Considere um sistema com três nós e duas molas conectando-os, conforme mostrado nas notas. Existem três deslocamentos nodais (graus de liberdade) q₁, q₂, q₃ e três forças nodais correspondentes F₁, F₂, F₃.

Passo 1: Definir as Matrizes de Rigidez dos Elementos Primeiro escrevemos a relação de rigidez para cada mola (elemento) separadamente. Cada mola é um elemento 1D com dois nós.

Para a Mola 1 (rigidez k₁): As forças locais f₁⁽¹⁾ e f₂⁽¹⁾ estão relacionadas aos deslocamentos locais q₁⁽¹⁾ e q₂⁽¹⁾. $[\begin{matrix} f_{1}^{(1)} \\ f_{2}^{(1)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} \\ - k_{1} & k_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(1)} \\ q_{2}^{(1)} \end{matrix}]$
Para a Mola 2 (rigidez k₂): Da mesma forma, para a segunda mola: $[\begin{matrix} f_{1}^{(2)} \\ f_{2}^{(2)} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{2} & - k_{2} \\ - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1}^{(2)} \\ q_{2}^{(2)} \end{matrix}]$

Passo 2: Estabelecer Compatibilidade e Equilíbrio Conectamos os elementos individuais impondo duas condições:

Compatibilidade de Deslocamentos: Relacionamos os deslocamentos nodais locais do elemento com os deslocamentos nodais globais da estrutura.
- q₁⁽¹⁾ = q₁
- q₂⁽¹⁾ = q₂ e q₁⁽²⁾ = q₂ (O nó do meio é compartilhado)
- q₂⁽²⁾ = q₃
Equilíbrio de Forças: A força externa em cada nó global deve ser igual à soma das forças internas de todos os elementos conectados a esse nó.
- F₁ = f₁⁽¹⁾
- F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ (A força no nó do meio é a soma das forças de ambas as molas)
- F₃ = f₂⁽²⁾

Passo 3: Montar a Matriz de Rigidez Global Agora construímos o sistema global F = Kq substituindo as equações dos elementos nas equações de equilíbrio.

Linha 1 (Força F₁): F₁ = f₁⁽¹⁾ = k₁q₁⁽¹⁾ - k₁q₂⁽¹⁾ = k₁q₁ - k₁q₂
Linha 2 (Força F₂): Esta é a etapa chave que mostra a superposição. F₂ = f₂⁽¹⁾ + f₁⁽²⁾ = (-k₁q₁⁽¹⁾ + k₁q₂⁽¹⁾) + (k₂q₁⁽²⁾ - k₂q₂⁽²⁾) Substituindo os deslocamentos globais: F₂ = (-k₁q₁ + k₁q₂) + (k₂q₂ - k₂q₃) = -k₁q₁ + (k₁ + k₂)q₂ - k₂q₃
Linha 3 (Força F₃): F₃ = f₂⁽²⁾ = -k₂q₁⁽²⁾ + k₂q₂⁽²⁾ = -k₂q₂ + k₂q₃

Escrevendo essas três equações em forma matricial, obtemos a matriz de rigidez global montada para toda a estrutura:

$[\begin{matrix} F_{1} \\ F_{2} \\ F_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{1} & - k_{1} & 0 \\ - k_{1} & k_{1} + k_{2} & - k_{2} \\ 0 & - k_{2} & k_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}]$

Observe como o termo K₂₂ (k₁ + k₂) é a soma das rigidezes dos dois elementos conectados a esse grau de liberdade. Essa “superposição direta” é a essência do processo de montagem no Método dos Elementos Finitos.