The Principle of Virtual Work in the Finite Element Method

1. Conceito Fundamental

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é fundamentalmente uma aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais. Vejamos o que este princípio afirma.

Deslocamento Virtual

Considere um campo de deslocamento virtual $\delta 𝐮$ no corpo. O deslocamento virtual é arbitrário¹, exceto que deve cumprir as restrições de contorno; ou seja, é zero onde quer que o deslocamento seja prescrito na fronteira.

Trabalho Virtual Externo (TVE)

O trabalho virtual externo (TVE) é o trabalho realizado pelas trações reais e forças de corpo e é dado por $$EVW={\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}𝐭\cdot \delta 𝐮dS+{\int }_{\mathrm{\Omega }}𝐛\cdot \delta 𝐮dV$$ A primeira integral é sobre a porção da fronteira do corpo (𝛤_t)onde a tração é prescrita. A segunda integral é sobre o volume (Ω) do corpo.

Se as forças de corpo forem desprezíveis e apenas forças concentradas P atuarem em certos nós (ou se as trações distribuídas forem convertidas em forças nodais equivalentes, como será explicado mais tarde), então o trabalho virtual externo se reduz a $$V{W}_E=\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ onde:

• P é o vetor das cargas externas reais (forças) aplicadas aos nós da estrutura.
• $\delta 𝐪$ é o vetor dos deslocamentos externos virtuais nos nós correspondentes.

Trabalho Virtual Interno (TVI)

O trabalho virtual interno é a integral do produto da tensão interna real, σ, e da deformação virtual, $\delta 𝝐$, sobre o volume (Ω) do corpo.

$$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ onde:

• $\delta 𝝐$ é a deformação virtual resultante do deslocamento virtual $\delta 𝐮$. $$\delta 𝝐=\left[\begin{array}{c}\delta {ϵ}_{xx}\\ \delta {ϵ}_{yy}\\ \delta {ϵ}_{zz}\\ \delta {\gamma }_{zx}\\ \delta {\gamma }_{zy}\\ \delta {\gamma }_{xy}\end{array}\right]$$
• σ é a tensão interna real resultante da carga externa real P. $$𝝈=\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}\\ {\sigma }_{yy}\\ {\sigma }_{zz}\\ {\sigma }_{zx}\\ {\sigma }_{zy}\\ {\sigma }_{xy}\end{array}\right]$$

Se o material for elástico linear, então usando a relação constitutiva (Lei de Hooke para um material elástico linear), podemos expressar a tensão em termos de deformação:

• ε é a deformação real correspondente à tensão real σ.
• E é a matriz de elasticidade do material (contendo propriedades como Módulo de Young e Coeficiente de Poisson). Por exemplo, em um problema de deformação plana: Substituindo a lei constitutiva na expressão do TVI obtém-se: $$IVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝐄𝝐dV$$

Princípio dos Trabalhos Virtuais

O princípio dos trabalhos virtuais afirma que o corpo está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual externo (TVE) for igual ao trabalho virtual interno (TVI) para cada campo de deslocamento virtual admissível. $$EVW=IVW$$ ou $$\delta {𝐪}^T𝐏={\int }_{\mathrm{\Omega }}\delta {𝝐}^{𝖳}𝝈dV$$ Nós anteriormente provamos este princípio.

2. A Matriz Deformação-Deslocamento (B)

Um conceito central no MEF é relacionar o campo de deformação contínuo dentro de um elemento aos seus deslocamentos nodais discretos, q. Isto é alcançado através da matriz deformação-deslocamento, B.

A matriz B é derivada das derivadas das funções de forma do elemento, que serão discutidas mais tarde, e é, no caso geral, uma função das coordenadas x = (x, y, z) dentro do elemento. Para enfatizar, podemos escrever: $$𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)𝐪$$

Da mesma forma, a deformação virtual está relacionada aos deslocamentos nodais virtuais:

$$\delta 𝝐(𝐱)=𝐁(𝐱)\delta 𝐪$$

Substituindo estas relações na equação do TVI, podemos expressar o trabalho virtual interno inteiramente em termos de deslocamentos nodais:

3. Derivação da Matriz de Rigidez do Elemento (K)

Igualando as expressões para o trabalho virtual externo e interno:

$$\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏=\delta {𝐪}^{𝖳}\left({\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV\right)𝐪$$

Como esta equação deve valer para qualquer deslocamento virtual arbitrário $\delta 𝐪$, podemos cancelar o termo $\delta {𝐪}^T$ de ambos os lados, obtendo a relação fundamental para um elemento finito:

onde K é uma matriz quadrada chamada matriz de rigidez, definida como:

Esta integral é o coração da formulação de elementos finitos para problemas estáticos lineares. Ela transforma as propriedades geométricas e materiais em uma matriz que relaciona forças nodais a deslocamentos nodais.