O Elemento Triangular Bidimensional

Agora estendemos os princípios do Método dos Elementos Finitos para domínios bidimensionais. O elemento mais simples para discretizar um contínuo 2D é o Elemento Triangular. Vamos considerar três nós em cada vértice do triângulo e os nós são numerados no sentido anti-horário. Cada nó tem dois graus de liberdade $u_{i}$ e $v_{i}$ .

1. Formulação para Elasticidade Bidimensional

Antes de derivar as propriedades deste elemento, devemos estabelecer as relações governantes para a elasticidade bidimensional.

O estado de tensão e deformação em qualquer ponto pode ser representado por vetores.

O vetor de tensão de Voigt é definido como: ${σ} = {\begin{matrix} σ_{x x} \\ σ_{y y} \\ σ_{x y} \end{matrix}}$

O vetor de deformação de Voigt correspondente é: ${ϵ} = {\begin{matrix} ϵ_{x x} \\ ϵ_{y y} \\ γ_{x y} \end{matrix}}$

A relação entre tensão e deformação é a lei constitutiva, que para um material elástico linear é expressa em forma matricial como: ${σ} = [E] {ϵ}$ Aqui, E é a matriz de elasticidade, contendo as propriedades do material. (Esta matriz não deve ser confundida com o módulo de Young escalar, E, usado em sua definição).

Para problemas 2D, uma de duas hipóteses simplificadoras é normalmente feita: estado plano de tensão ou estado plano de deformação.

Estado Plano de Tensão: Assumido para estruturas finas carregadas em seu próprio plano ( $σ_{z z} = 0$ ). A matriz de elasticidade é: $𝐄 = \frac{E}{1 - ν^{2}} [\begin{matrix} 1 & ν & 0 \\ ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - ν}{2} \end{matrix}]$

Estado Plano de Deformação: Assumido para estruturas longas com seção transversal uniforme onde a deformação fora do plano é zero ( $ϵ_{z z} = 0$ ). A matriz de elasticidade é: $𝐄 = \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 & \frac{ν}{1 - ν} & 0 \\ \frac{ν}{1 - ν} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2 ν}{2 (1 - ν)} \end{matrix}]$

2 Matriz de Deformação-Deslocamento [B]

Hipóteses: O campo de deslocamento dentro do elemento, u(x, y) na direção x e v(x, y) na direção y, é interpolado a partir dos valores de deslocamento nodal usando funções de forma N_i. Assume-se que o deslocamento em uma dada direção depende apenas dos deslocamentos nodais na mesma direção. Isto é,

As deformações são as derivadas do campo de deslocamento. Para um problema bidimensional, as relações são:

$ϵ_{x x} = \frac{\partial u}{\partial x}, ϵ_{y y} = \frac{\partial v}{\partial y}, γ_{x y} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}$

Substituindo os campos de deslocamento interpolados nestas definições de deformação, podemos construir uma relação entre o vetor de deformação de Voigt ${ϵ}$ e o vetor de deslocamentos nodais $𝐪$ . Esta relação define a matriz de deformação-deslocamento, B.

${ϵ} = [B] {q}$

Para um elemento triangular de 3 nós, o vetor de deslocamento nodal é ordenado como:

$𝐪 = {\begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \end{matrix}}$

A matriz de deformação-deslocamento B é, portanto, uma matriz $3 \times 6$ composta pelas derivadas das funções de forma:

$𝐁 = [\begin{matrix} \frac{\partial N_{1}}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_{2}}{\partial x} & 0 & \frac{\partial N_{3}}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial N_{1}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_{2}}{\partial y} & 0 & \frac{\partial N_{3}}{\partial y} \\ \frac{\partial N_{1}}{\partial y} & \frac{\partial N_{1}}{\partial x} & \frac{\partial N_{2}}{\partial y} & \frac{\partial N_{2}}{\partial x} & \frac{\partial N_{3}}{\partial y} & \frac{\partial N_{3}}{\partial x} \end{matrix}]$

3. Derivação das Funções de Forma

Para determinar a matriz B, devemos primeiro encontrar a forma explícita das funções de forma, N_i. Para o elemento triangular de 3 nós, assumimos o campo de deslocamento mais simples possível: um polinômio linear.

Os coeficientes A₁, A₂ e A₃ são constantes. Para relacioná-los aos deslocamentos nodais físicos, impomos esta equação em cada um dos três nós:

${\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}} = [\begin{matrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix}] {\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \end{matrix}}$

Este sistema de equações pode ser invertido para resolver os coeficientes A_i em termos dos deslocamentos nodais u_i e das coordenadas nodais.

onde $A = \frac{1}{2} | \begin{matrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{matrix} |$ é a área do triângulo.

Substituindo de volta no polinômio linear e rearranjando, obtém-se a forma final das funções de forma:

As funções de forma derivadas do campo polinomial linear assumem a forma: $N_{i} (x, y) = \frac{1}{2 A} (a_{i} + b_{i} x + c_{i} y)$ onde A é a área do elemento e a_i, b_i e c_i são coeficientes compostos pelas coordenadas nodais.

Observe que N_i(x, y) é a equação de um plano cujo valor é 1 no nó i e zero nos outros dois nós.

4. A Matriz B de Deformação Constante e a Rigidez do Elemento

As derivadas destas funções de forma são: $\frac{\partial N_{i}}{\partial x} = \frac{b_{i}}{2 A}, \frac{\partial N_{i}}{\partial y} = \frac{c_{i}}{2 A}$

Uma consequência crítica da função de forma linear é que suas derivadas são constantes. Como a matriz [B] é composta inteiramente dessas derivadas, a matriz [B] para este elemento também é constante. Da relação {ϵ} = [B]{q}, isso implica que a deformação {ϵ} é uniforme em todo o elemento, razão pela qual é chamado de Triângulo de Deformação Constante (CST).

A matriz de rigidez do elemento K é encontrada integrando sobre o domínio do elemento Ω: $𝐊 = \int_{Ω} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V$

Para um elemento de espessura constante t, esta integral de volume se torna uma integral de área: $𝐊 = \int_{A} 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 t d A$

Como B, E e t são todos constantes, podem ser retirados da integral, que se simplifica para a área A. Isso resulta na expressão final para a matriz de rigidez do elemento:

$𝐊 = (𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁) t A$

5. Continuidade Inter-Elemento e Elementos de Ordem Superior

Surge uma questão quanto à continuidade do deslocamento. Sabemos que o deslocamento é contínuo nos nós, mas é contínuo ao longo das arestas entre os nós?

A resposta é sim. Como o campo de deslocamento é linear, sua variação ao longo de qualquer aresta é uma interpolação linear entre os dois valores nodais dos vértices. Um elemento adjacente que compartilha essa aresta terá seu campo de deslocamento descrito exatamente pela mesma interpolação linear. Isso garante a compatibilidade de deslocamento entre os elementos, uma condição conhecida como $C^{0}$ continuidade.

A condição de completude, que garante que o elemento pode representar movimento de corpo rígido, é satisfeita, conforme indicado pela propriedade:

$\sum N_{i} = 1$

A precisão do elemento CST é limitada pela sua suposição de deformação constante. Para modelar problemas com campos de deformação variáveis com mais precisão, elementos de ordem superior são usados. Isto é conseguido adicionando nós ao elemento e usando polinômios de ordem superior para as funções de forma. Por exemplo, adicionar nós no meio das arestas permite um campo de deslocamento quadrático (um triângulo de 6 nós), o que resulta em um campo de deformação linearmente variável.

Estes elementos de ordem superior ainda possuem apenas continuidade $C^{0}$ . Alcançar continuidade superior (por exemplo, $C^{1}$ , onde as derivadas também são contínuas) requer formulações de elementos mais complexas.