Forças Nodais Equivalentes

Ao derivar a formulação, IVW = EVW, simplesmente assumimos que existem apenas forças nodais e é por isso que EVW = $\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$. Agora suponha que existem forças de corpo e tração de superfície.

Seja $𝐛$: força de corpo por unidade de massa $\overline{𝐭}$: força de contorno prescrita ou tração de superfície por unidade de área. (aqui usei uma barra sobre o vetor de tração para indicar que é uma força prescrita)

Então $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho 𝐛\cdot \delta 𝐮dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\overline{𝐭}\cdot \delta 𝐮dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ que pode ser escrito como $$EVW={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho \delta {𝐮}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_t}\delta {𝐮}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+\delta {𝐪}^{𝖳}𝐏$$ No entanto, $$\delta 𝐮=𝐍\delta 𝐪$$ ou $$\{u\}=[N]\{\delta q\}$$ Portanto,

Igualando EVW = IVW nos dá $$𝐊𝐪=𝐅$$ onde $$𝐊={\int }_{\mathrm{\Omega }}{𝐁}^{𝖳}𝐄𝐁dV$$ e $$𝐅={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho {𝐍}^{𝖳}𝐛dV+{\int }_{\mathrm{\Gamma }}{𝐍}^{𝖳}\overline{𝐭}dS+𝐏$$

Exemplo: Se a viga for carregada como na figura a seguir,

então $$\overline{t}(x)=-\frac{w}{L}x$$ e as forças nodais generalizadas equivalentes são: $$P_1={\int }_0^L{N}_1(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{3wL}{20}$$ $$M_1={\int }_0^L{N}_2(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{w{L}^2}{30}$$ $$P_2={\int }_0^L{N}_3(x)\overline{t}(x)dx=-\frac{7wL}{20}$$ $$M_2={\int }_0^L{N}_4(x)\overline{t}(x)dx=\frac{w{L}^2}{20}$$ onde