Distorted Quadrilateral Element: Natural Coordinate System

A formulação do elemento retangular é simples e eficaz, mas tem uma grande desvantagem: é definida para um retângulo perfeito cujos lados estão alinhados com os eixos cartesianos globais (x, y). As geometrias do mundo real são complexas, e muitas vezes é ineficiente ou impossível malhar uma forma complexa usando apenas retângulos perfeitos.

Se tentarmos usar as funções de forma derivadas acima para uma forma geral de quadrilátero distorcido, elas não atenderão às propriedades exigidas (por exemplo, uma função de forma pode não ser zero ao longo de uma borda oposta). Isso ocorre porque as funções estão explicitamente vinculadas às coordenadas x e y e às dimensões específicas do elemento, a e b.

Para analisar elementos quadriláteros com formas arbitrárias, devemos introduzir um novo sistema de coordenadas que seja independente da forma do elemento no sistema global. Isso nos leva ao conceito de Coordenadas Naturais.

1. O Sistema de Coordenadas Naturais

A ideia central do sistema de coordenadas naturais é mapear qualquer quadrilátero de forma arbitrária no sistema de coordenadas global (x, y) para um único elemento “pai” perfeitamente quadrado em um sistema de coordenadas local (r, s).

Sistema Global (Elemento Real): O elemento físico com coordenadas x e y. Pode ser distorcido e seus lados podem não ser paralelos.
Sistema Natural (Elemento Pai): Um quadrado perfeito definido pelas coordenadas r e s, onde ambos r e s variam de -1 a +1.

Este mapeamento transforma uma geometria complexa em uma simples e padronizada, o que simplifica enormemente a formulação, especialmente a integração.

2. Formulação Isoparamétrica: Mapeamento e Funções de Forma

A genialidade da formulação isoparamétrica é usar as mesmíssimas funções de forma para definir o mapeamento geométrico que são usadas para interpolar o campo de deslocamento.

2.1 Funções de Forma em Coordenadas Naturais

No quadrado pai (r, s), as funções de forma para o elemento de 4 nós têm uma forma simples e universal, análoga ao método do produto usado para o retângulo:

$N_{1} (r, s) = \frac{1}{4} (1 - r) (1 - s)$
$N_{2} (r, s) = \frac{1}{4} (1 + r) (1 - s)$
$N_{3} (r, s) = \frac{1}{4} (1 + r) (1 + s)$
$N_{4} (r, s) = \frac{1}{4} (1 - r) (1 + s)$

Essas funções são sempre as mesmas, independentemente da forma do elemento real no plano (x, y).

2.2 O Mapeamento Geométrico

A conexão entre os dois sistemas de coordenadas é estabelecida usando essas funções de forma para interpolar as coordenadas globais a partir das coordenadas nodais:

Este mapeamento nos permite encontrar as coordenadas globais (x, y) correspondentes a qualquer ponto dado por suas coordenadas naturais (r, s).

2.3 Interpolação de Deslocamento

Vamos usar exatamente as mesmas funções para descrever o campo de deslocamento (u, v) em qualquer ponto (r, s) dentro do elemento. O campo de deslocamento contínuo é interpolado a partir dos valores nodais discretos de deslocamento u_i e v_i usando o mesmo conjunto de funções de forma:

$u (r, s) = \sum_{i = 1}^{4} N_{i} (r, s) u_{i}$ $v (r, s) = \sum_{i = 1}^{4} N_{i} (r, s) v_{i}$

Aqui, u_i e v_i são as componentes do vetor de deslocamento nodal q. Isso pode ser expresso em forma matricial: ${\begin{matrix} u (r, s) \\ v (r, s) \end{matrix}} = [\begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} & 0 & N_{3} & 0 & N_{4} & 0 \\ 0 & N_{1} & 0 & N_{2} & 0 & N_{3} & 0 & N_{4} \end{matrix}] {\begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \\ u_{4} \\ v_{4} \end{matrix}}$

Esta estrutura paralela não é uma coincidência; é a definição fundamental de um elemento isoparamétrico.

3. A Matriz Jacobiana: Relacionando Derivadas

Para formar a matriz B, precisamos das derivadas das funções de forma em relação às coordenadas globais, x e y. No entanto, nossas funções de forma são definidas em termos das coordenadas naturais, r e s. Podemos relacionar essas derivadas usando a regra da cadeia da diferenciação parcial:

$\frac{\partial N_{i}}{\partial r} = \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$ $\frac{\partial N_{i}}{\partial s} = \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$

Este sistema pode ser escrito em forma matricial:

${\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial r} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial s} \end{matrix}} = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} \end{matrix}] {\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \end{matrix}}$

A matriz nesta equação é a Matriz Jacobiana, J.

$𝐉 = [\begin{matrix} J_{11} & J_{12} \\ J_{21} & J_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial s} \end{matrix}]$

Como precisamos das derivadas em relação a x e y para formar a matriz B, devemos inverter esta relação:

${\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial x} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial y} \end{matrix}} = 𝐉^{- 1} {\begin{matrix} \frac{\partial N_{i}}{\partial r} \\ \frac{\partial N_{i}}{\partial s} \end{matrix}}$

Os termos da Jacobiana podem ser calculados diferenciando as equações de mapeamento (por exemplo, $\frac{\partial x}{\partial r} = \sum \frac{\partial N_{i}}{\partial r} x_{i}$ ).

6. Integração em Coordenadas Naturais

A etapa final é transformar a integral da matriz de rigidez para o sistema de coordenadas naturais. O elemento diferencial de área também se transforma:

$d A = d x d y = det (𝐉) d r d s$

O determinante da Jacobiana, det(J), atua como um fator de escala entre as áreas diferenciais nos dois sistemas. A integral da matriz de rigidez do elemento torna-se:
$𝐊 = t \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} 𝐁 (r, s)^{T} 𝐄 𝐁 (r, s) det (𝐉) d r d s$
Esta integral tem limites constantes de -1 a 1, independentemente da forma do elemento real. Esta forma padronizada é ideal para técnicas de integração numérica, como a Quadratura Gaussiana, que é o método padrão para avaliar essas integrais em software de FEM.