Elemento de Treliça

Vamos derivar a conhecida matriz de rigidez para um elemento simples de treliça (barra) de dois nós. Ou seja, consideramos dois graus de liberdade $q_{1}$ e $q_{2}$ nas duas extremidades e suas respectivas forças $P_{1}$ e $P_{2}$ .

Da Análise Matricial Padrão:

O equilíbrio das forças requer que $P_{1} = - P_{2}$ . Da resistência dos materiais, sabemos que $\frac{P_{1}}{A} = E \frac{q_{1} - q_{2}}{L}, \frac{P_{2}}{A} = E \frac{q_{2} - q_{1}}{L},$ As equações acima podem ser escritas como $P_{1} = \frac{E A}{L} (q_{1} - q_{2}), P_{2} = \frac{E A}{L} (q_{2} - q_{1})$

Da análise estrutural, sabemos que a matriz de rigidez para uma barra com área de seção transversal constante A, módulo de Young E e comprimento L é: $𝐊 = \frac{E A}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

Dos Primeiros Princípios do MEF: Agora, vamos derivar isso usando a integral do MEF $𝐊 = \int 𝐁^{𝖳} 𝐄 𝐁 d V$ .

Campo de Deslocamento: O deslocamento axial u(x) em qualquer ponto ao longo da barra pode ser interpolado a partir dos deslocamentos nodais q₁ e q₂ usando funções de forma lineares. Se $q_{1} = 1$ e $q_{2} = 0$ , então $u (x) = 1 - \frac{x}{L}$ e se $q_{1} = 0$ e $q_{2} = 1$ , então $u (x) = \frac{x}{L}$

Usando superposição, obtemos $u (x) = (1 - \frac{x}{L}) q_{1} + (\frac{x}{L}) q_{2} = 𝐍 (x) {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$ onde $𝐍 = ⟨ 1 - \frac{x}{L} \frac{x}{L} ⟩$ é a matriz de funções de forma.

Campo de Deformação: A deformação axial ε é a derivada do deslocamento. $ϵ = \frac{d u}{d x} = \frac{d ٔ 𝐍}{d x} 𝐪 = ⟨ - \frac{1}{L} \frac{1}{L} ⟩ {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$
Matriz Deformação-Deslocamento (B): Do exposto, vemos que para este elemento simples, a matriz B é constante: $𝐁 = [- \frac{1}{L} \frac{1}{L}]$
Matriz do Material (E): Para tensão axial 1D, a matriz do material E é simplesmente o escalar Módulo de Young, *E.
Integração: Agora calculamos a integral da matriz de rigidez sobre o volume do elemento ( $d V = A d x$ ). $𝐊 = \int_{0}^{L} 𝐁^{T} E 𝐁 A d x$
Como tudo dentro da integral é constante em relação a x: $𝐊 = \frac{E A}{L^{2}} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] [x]_{0}^{L} = \frac{E A}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$
Isso reproduz com sucesso o resultado conhecido usando os princípios fundamentais do MEF.

Análise de uma Barra Afilada

Considere uma barra de comprimento L que está fixa em uma extremidade e submetida a uma carga pontual P₁ na outra. Sua área de seção transversal varia linearmente: $A (x) = A_{0} (1 - \frac{x}{2 L}) .$

1. Solução Analítica

Podemos encontrar o deslocamento "exato" integrando a deformação ao longo do comprimento.

Como não há força distribuída, a força interna em cada ponto $A (x) E ϵ (x) = A (x) E \frac{d u}{d x}$ deve ser uma constante igual à força axial $P$ . Portanto, $A (x) E \frac{d u}{d x} = P$ Portanto $\int_{0}^{L} \frac{d u}{d x} d x = \int_{0}^{L} \frac{P}{E A (x)} d x$

Mas $\int_{0}^{L} \underset{d u}{\underset{⏟}{\frac{d u}{d x} d x}} = u (L) - u (0) = q_{2} - q_{1}$ e $\int_{0}^{L} \frac{P}{E A (x)} d x = \frac{P}{E} \int_{0}^{L} \frac{1}{1 - \frac{x}{2 L}} d x = \frac{P}{E A_{0}} L \ln 4$ Como $P = P_{2} = - P_{1}$ , ${\begin{matrix} P_{1} \\ P_{2} \end{matrix}} = \frac{E A_{0}}{L \ln 4} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \end{matrix}}$ Assim, a matriz de rigidez exata é $𝐊 = 0.7213 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

2. Solução MEF (Elemento Linear Único)

Agora modelamos a mesma barra com um único elemento finito de dois nós. Usamos as mesmas funções de forma lineares do exemplo da treliça, o que significa que nossa matriz B é novamente $𝐁 = \frac{1}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \end{matrix}]$

A principal diferença é que a área A(x) agora está dentro da integral de rigidez:

$𝐊 = \int_{0}^{L} 𝐁^{T} E 𝐁 A (x) d x = 𝐁^{T} E 𝐁 \int_{0}^{L} A (x) d x$

$\int_{0}^{L} A (x) d x = \int_{0}^{L} A_{0} (1 - \frac{x}{2 L}) d x = A_{0} {[x - \frac{x^{2}}{4 L}]}_{0}^{L} = 0.75 A_{0} L$

Substituindo isso de volta na expressão para K:

$𝐊 = (\frac{E}{L^{2}} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]) (0.75 A_{0} L) = \frac{0.75 E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$ Este resultado é uma aproximação. A suposição de um campo de deslocamento linear (u(x) = Nq) resulta em um campo de deformação constante (ε = Bq), que não pode representar a verdadeira deformação variável na barra afilada. Essa discrepância leva a um erro (neste caso, o elemento é excessivamente rígido).

Neste método, parece que substituímos a barra por uma barra com área de seção transversal constante igual à área média da seção transversal $\frac{3}{4} A$ . O erro é de apenas aproximadamente 4%.

3. Melhorando a Precisão do MEF: Modelo de Dois Elementos da Barra Afilada

Vamos modelar a barra afilada com dois elementos lineares de comprimento L/2. Podemos aproximar a área como constante para cada elemento, usando o valor em seu ponto médio.

Elemento 1 (x = 0 a L/2): Ponto médio em x=L/4. A₁ = A₀(1 - (L/4)/2L) = (7/8)A₀.
Elemento 2 (x = L/2 a L): Ponto médio em x=3L/4. A₂ = A₀(1 - (3L/4)/2L) = (5/8)A₀.

As matrizes de rigidez são: $𝐊^{(1)} = \frac{E A_{1}}{L / 2} {[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]}_{1, 2} 𝐊^{(2)} = \frac{E A_{2}}{L / 2} {[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]}_{2, 3}$

Montagem: Combinamos isso em uma matriz de rigidez global 3x3 K_global adicionando as contribuições para cada grau de liberdade (nó). $𝐊_{g l o b a l} = \frac{2 E}{L} [\begin{matrix} A_{1} & - A_{1} & 0 \\ - A_{1} & A_{1} + A_{2} & - A_{2} \\ 0 & - A_{2} & A_{2} \end{matrix}]$ $𝐊_{g l o b a l} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} 7 & - 7 & 0 \\ - 7 & 7 + 5 & - 5 \\ 0 & - 5 & 5 \end{matrix}]$

Condensação Estática:

Frequentemente, estamos interessados apenas no relacionamento entre os graus de liberdade externos (nós 1 e 3) e não no nó interno (2). Condensação estática é uma técnica de redução de matriz usada para eliminar g.d.l. internos. O sistema global particionado é: $[\begin{matrix} 𝐏_{e} \\ 𝐏_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 𝐊_{e e} & 𝐊_{e i} \\ 𝐊_{i e} & 𝐊_{i i} \end{matrix}] [\begin{matrix} 𝐪_{e} \\ 𝐪_{i} \end{matrix}]$ Isso pode ser escrito como $𝐏_{e} = 𝐊_{e e} 𝐪_{e} + 𝐊_{e i} 𝐪_{i}$ $𝐏_{i} = 𝐊_{i e} 𝐪_{e} + 𝐊_{i i} 𝐪_{i}$ Se nenhuma força for aplicada aos nós internos (P_i = 0), podemos resolver para q_i e substituí-lo de volta para encontrar uma matriz de rigidez condensada K_condensed relacionando apenas os g.d.l. externos. $0 = 𝐊_{i e} 𝐪_{e} + 𝐊_{i i} 𝐪_{i}$ $𝐪_{i} = - 𝐊_{i i}^{- 1} 𝐊_{i e} 𝐪_{e}$

$𝐊_{c o n d e n s e d} = 𝐊_{e e} - 𝐊_{e i} 𝐊_{i i}^{- 1} 𝐊_{i e}$

Aplicando isso ao nosso modelo de dois elementos $𝐊_{e e} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}], 𝐊_{e i} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} - 7 \\ - 5 \end{matrix}]$ $𝐊_{e i} = \frac{E A_{0}}{4} [\begin{matrix} - 7 & - 5 \end{matrix}], 𝐊_{i i} = \frac{12 E A_{0}}{4}$ resulta em uma matriz 2x2 $𝐊_{c o n d e n s e d} = 0.7229 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]$

que fornece um resultado muito mais preciso para a rigidez da barra, reduzindo significativamente o erro (cerca de 0,2%).

4.2. Elementos de Ordem Superior

Em vez de usar mais elementos simples, podemos usar um único elemento mais complexo. Um elemento quadrático, por exemplo, tem um terceiro nó em seu ponto médio e usa polinômios de segunda ordem para suas funções de forma.

Para um elemento de barra de 3 nós (nós em x=0, L, L/2), o campo de deslocamento é: $u (x) = ⟨ \begin{matrix} N_{1} (x) & N_{2} (x) & N_{3} (x) \end{matrix} ⟩ {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}}$ onde N₁, N₂, N₃ são funções quadráticas: $N_{1}^{(2)} (x) = \frac{(x - L / 2) (x - L)}{L^{2} / 2},$ $N_{2}^{(2)} (x) = - \frac{x (x - L)}{L^{2} / 4},$ $N_{3}^{(2)} (x) = \frac{x (x - L / 2)}{L^{2} / 2} .$

Isso leva a um campo de deformação ε(x) que varia linearmente, o que é uma aproximação muito melhor para a barra afilada. $ϵ = \frac{d u}{d x} = \underset{𝐁}{\underset{⏟}{⟨ \begin{matrix} \frac{d N_{1}}{d x} & \frac{d N_{2}}{d x} & \frac{d N_{3}}{d x} \end{matrix} ⟩}} {\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}}$ Calculando a matriz de rigidez 3x3

e, em seguida, usando a condensação estática para obter uma matriz de rigidez externa 2x2 resulta em uma solução altamente precisa (erro de ~0,12% no exemplo): $𝐊_{2 \times 2}^{cond} = \frac{13}{18} \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] \approx 0.7222 \frac{E A_{0}}{L} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] .$

Se tomarmos funções de forma lineares

então o resultado será idêntico ao caso em que escolhemos dois elementos.