Vetor de tração ou tensão

Considere uma superfície imaginária que corta um corpo em duas partes.

**Figura 1** Um plano imaginário corta um corpo contínuo que está sujeito a forças de superfície externas. Adaptado da Wikipedia

O material de um lado da superfície exerce um sistema de forças sobre o material do outro lado.

**Figura 2** Uma seção do corpo é removida, revelando uma distribuição contínua de forças internas atuando na superfície interna recém-exposta, centrada no ponto P.

Em um pequeno elemento de área $Δ S$ ao redor de um ponto $P$ nesta superfície, a resultante da distribuição real de força nesta área é uma força $Δ 𝐅$ e um momento $Δ 𝐌$ . Seja $\hat{𝐧}$ o vetor unitário normal externo da superfície em $P$ .

**Figura 3** Em uma pequena área ΔS ao redor do ponto P, as forças internas distribuídas são representadas por uma força resultante ΔF e um momento resultante ΔM. O vetor n é normal à superfície.

Agora, fazemos $Δ S$ encolher até zero ao redor de $P$ de modo que sua maior dimensão também vá para zero.¹ Enquanto $Δ 𝐅$ e $Δ 𝐌$ também vão para zero, uma suposição fundamental da mecânica do contínuo é que a razão $\frac{Δ 𝐅}{Δ S}$ se aproxima de um limite definido, enquanto o efeito do momento desaparece.² Este limite da razão de força é chamado de vetor de tração ou vetor de tensão, denotado por $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ : $𝐭^{(\hat{𝐧})} = \frac{d 𝐅}{d S} .$

**Figura 4** À medida que a área se reduz a um ponto infinitesimal dS, a intensidade da força é definida como o vetor de tração, que é a força infinitesimal dF por unidade de área dS.

Uma hipótese mais forte, conhecida como Postulado de Cauchy, também é feita: o vetor de tração $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ depende apenas do ponto $P$ e da orientação da superfície, $\hat{𝐧}$ , e é independente da forma do elemento ou da curvatura da superfície. O sobrescrito $(\hat{𝐧})$ indica essa dependência do vetor normal.³

O vetor de tensão pode ser decomposto em dois componentes: uma tensão normal $σ_{n}$ que é perpendicular a $Δ S$ e uma tensão de cisalhamento (ou tensão cortante) $τ_{n}$ que está no plano.

**Figura 5** O vetor de tração (também conhecido como vetor de tensão) t(n) em um ponto P sobre uma superfície interna é decomposto em dois componentes: uma componente de tensão normal σn, que atua perpendicularmente à superfície, e uma componente de tensão de cisalhamento τn, que atua paralelamente à superfície.

Observe que $Δ S \to 0$ está em contradição com o fato de que os materiais são compostos de átomos e moléculas, mas tenha em mente que (a) assumimos que o material é contínuo e que não há espaço vazio entre as partículas. (b) A definição acima é muito abstrata e nunca é usada na prática.↩︎
Um ramo da mecânica do contínuo chamado teoria das tensões de binário (ou teoria de Cosserat) explora materiais onde $\frac{Δ 𝐌}{Δ S}$ não se aproxima de zero. Em vez disso, aproxima-se de um limite chamado vetor de tensão de binário, que é importante para modelar materiais com microestrutura interna significativa.↩︎
Observe que $Δ S \to 0$ está em contradição com o fato de que os materiais são compostos de átomos e moléculas, mas tenha em mente que (a) assumimos que o material é contínuo e que não há espaço vazio entre as partículas. (b) A definição acima é muito abstrata e nunca é usada na prática.↩︎