Variação da tensão no interior de um corpo

Em um corpo sob tensão, os componentes da tensão geralmente variam de ponto a ponto. Essas variações não são arbitrárias; são governadas pela segunda lei do movimento de Newton. Ao aplicar essa lei a um elemento infinitesimal, podemos encontrar as equações governantes para a variação da tensão dentro de um corpo.

Considere um elemento com dimensões $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ e $\mathrm{\Delta }z$. Componentes de tensão atuam em cada face deste elemento. Em cada face deste elemento cuboidal, os componentes da tensão podem diferir daqueles na face oposta. Por exemplo, se o componente xx da tensão em uma face é ${\sigma }_{xx}$, então na face oposta será considerado como ${\sigma }_{xx}+\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}$​.

Seja $𝐛$ a força de corpo por unidade de massa. Por exemplo, se considerarmos apenas a gravidade, então $b=g$, onde $g$ é a aceleração gravitacional. Portanto, a componente $x$ da força devido à força de corpo é $$\rho b_x\mathrm{\Delta }V=\rho b_x(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z).$$onde $\rho$ é a densidade de massa no ponto.

Agora, somando as forças atuando na direção x devido às tensões em todas as faces e à força de corpo, e aplicando a segunda lei de Newton $\sum F_x=m{a}_x$ resulta em Após simplificação e divisão de ambos os lados pelo volume $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$, obtemos: $$\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{xx}}{\mathrm{\Delta }x}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{yx}}{\mathrm{\Delta }y}+\frac{\mathrm{\Delta }{\sigma }_{zx}}{\mathrm{\Delta }z}+\rho b_x=\rho a_x$$ No limite quando $\mathrm{\Delta }x\to 0$, $\mathrm{\Delta }y\to 0$ e $\mathrm{\Delta }z\to 0$, as razões de diferenças finitas tornam-se derivadas parciais: $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho a_x$$ Repetindo esse processo para as direções y e z ($\sum F_y=m{a}_y$ e $\sum F_z=m{a}_z$), chegamos ao conjunto completo de equações: Essas três equações podem ser escritas de forma concisa como: $$\boxed{\sum _{j=1}^3\frac{\partial {\sigma }_{ji}}{\partial x_j}+\rho b_i=\rho a_i(i=1,2,3)}$$ Isso também é comumente escrito em notação vetorial ou tensorial como: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho 𝐚$$ o que significa Esta equação é conhecida como Primeira Lei do Movimento de Cauchy.