Tensão Plana: Transformação de Tensão em 2D

Tensão Plana

Em muitos problemas de engenharia, uma análise tridimensional completa das tensões não é necessária. Um exemplo simples e muito comum dessas situações é quando lidamos com um sistema de tensão plana. Dizemos que um corpo está em tensão plana quando as tensões em um plano são apenas tensões normais. Esse plano é geralmente tomado perpendicular ao eixo z. Nesse caso, as tensões de cisalhamento envolvendo a direção z se anulam: σ_zx=σ_zy=0 e o tensor de tensões assume a forma: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{z z} \end{matrix}]$ Um caso especial de tensão plana é quando, além das tensões de cisalhamento, a tensão normal na direção z, σ_zz, também se anula; tratamos do que é chamado de problemas de estado plano de tensão. Isto é, em um problema de estado plano de tensão, o tensor de tensões se parece com isto: $[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & 0 \\ σ_{y x} & σ_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$ Neste caso, σ_xx, σ_yy e σ_xy não variam ao longo da espessura do corpo. Ou seja, eles são funções apenas de x e y, mas são independentes de z. ¹

Outra categoria importante de problemas de tensão plana são os chamados problemas de estado plano de deformação, que serão discutidos mais adiante.

A seguir, usaremos frequentemente as notações de engenharia para as componentes de tensão, ou seja, $[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} \\ τ_{x y} & σ_{y} \end{matrix}]$

Transformação de Tensões

Suponha que as componentes de tensão nas coordenadas x-y para um problema de estado plano de tensão sejam dadas. Agora queremos encontrar as componentes da tensão em um novo sistema de coordenadas obtido girando os eixos x e y de um ângulo $θ$ .

Se o comprimento do plano oblíquo é $d l$ , então os comprimentos dos lados do elemento perpendiculares aos eixos x e y são $d l \cos θ$ e $d l \sin θ$ , respectivamente.

Sejam $t_{x}$ e $t_{y}$ as componentes do vetor tensão atuando no plano oblíquo. Então, do equilíbrio de forças ao longo dos eixos x e y, segue que onde $h$ é a espessura do elemento. Após simplificações, obtemos

O mesmo resultado pode ser obtido se observarmos que $𝐭$ é o vetor tensão em um plano cujo vetor normal unitário é $[\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \end{matrix}]$ : As componentes de $t_{x}$ e $t_{y}$ na direção de são $t_{x} \cos θ$ e $t_{y} \sin θ$ . Suas componentes na direção y’ (que são as componentes de cisalhamento no plano oblíquo) são $- t_{x} \sin θ$ e $t_{y} \cos θ$ . Portanto, Substituindo as equações obtidas para $t_{x}$ e $t_{y}$ nas equações acima, obtemos A tensão pode ser encontrada a partir da fórmula de substituindo $θ + π / 2$ por $θ$ nessa fórmula, já que é ortogonal a . e como $\sin (θ + π / 2) = \cos θ$ e $\cos (θ + π / 2) = - \sin θ$ , obtemos Em resumo:

Como $\sin^{2} θ = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 θ), \cos^{2} θ = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 θ),$

podemos escrever as Eqs. (5) como Notamos que os segundos termos nas fórmulas para e e os terceiros termos nelas são os mesmos, mas têm sinais opostos. Portanto, Isso significa que a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é invariante. Ou seja, em qualquer novo sistema de coordenadas, a soma das tensões normais é a mesma.

Notamos também que Portanto, do cálculo sabemos que o máximo e o mínimo da tensão normal são atingidos quando a tensão de cisalhamento naquele plano é zero . As duas direções dadas pelos valores particulares de $θ$ fornecidos pela equação acima são chamadas de direções principais, e as tensões normais correspondentes (que são os valores máximo e mínimo da tensão normal em qualquer plano) são chamadas de tensões principais.

Como $\tan (2 θ + π) = \tan (2 θ)$ , se $θ_{p}$ é uma solução da Eq. (9), a outra é $θ_{p} + π / 2$ . Portanto, as direções principais são direções perpendiculares (ou, equivalentemente, dois planos que não têm tensões de cisalhamento são perpendiculares).

Se quisermos encontrar as tensões principais, precisamos encontrar $\sin 2 θ$ e $\cos 2 θ$ dado $\tan 2 θ$ pela (9), e substituir os resultados nas Eqs. (6).

Como $\cos^{2} α = \frac{1}{1 + \tan^{2} α}, \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ temos Substituindo esses valores em (6), obtemos as tensões principais (que são os valores máximo e mínimo da tensão normal): Para encontrar a tensão de cisalhamento máxima, precisamos resolver :

Compare $θ_{s}$ com o ângulo $θ_{p}$ em que as tensões principais ocorrem: Assim, vemos que tan 2θ_s é o recíproco negativo de tan 2θ_p, o que significa que 2θ_s e 2θ_p são ortogonais. Como resultado, as direções de cisalhamento máximo e tensão principal diferem de 45°.

Substituindo de volta na equação de transformação da tensão de cisalhamento, obtemos a tensão de cisalhamento máxima:

Círculo de Mohr para Tensões — Duas Dimensões

O. Mohr introduziu um método gráfico para representar o estado de tensão em um ponto em qualquer plano oblíquo. Esta abordagem gráfica nos permite

Determinar rapidamente as tensões principais ( $σ_{1}$ , $σ_{2}$ ) e suas orientações.
Encontrar a tensão de cisalhamento máxima no plano ( $τ_{max}$ ) e sua orientação.
Resolver para as componentes de tensão em qualquer plano arbitrário sem cálculos extensos.

Considere as equações para e . Isolemos os termos trigonométricos, subtraindo a tensão normal média $σ_{avg} = \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2}$ de :

Se elevarmos ambas as equações ao quadrado, chegamos a:

Comparando a equação acima com a equação de uma circunferência de raio $R$ e centro $(h, k)$ : $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = R^{2},$ percebemos que (14) é a equação de uma circunferência com centro $(0, σ_{avg}) = (0, \frac{σ_{x} + σ_{y}}{2})$ e raio $R = \sqrt{{(\frac{σ_{x} - σ_{y}}{2})}^{2} + τ_{x y}^{2}}$

Como Usar o Círculo de Mohr

Uma vez desenhada a circunferência, todos os estados de tensão possíveis para qualquer ângulo estão representados em sua circunferência.

Tensões Principais (σ₁ e σ₂):
- Estes são os pontos onde a circunferência intercepta o eixo horizontal σ. Nestes pontos, a tensão de cisalhamento é zero.
- σ₁ (Tensão Principal Máxima) é o ponto mais à direita: $σ_{1} = C + R$ .
- σ₂ (Tensão Principal Mínima) é o ponto mais à esquerda: $σ_{2} = C - R$ .
Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano (τ_max):
- Isto é representado pelos pontos mais alto e mais baixo na circunferência.
- O valor é igual ao raio: τ_max = R.
- A tensão normal nos pontos de cisalhamento máximo é a tensão média, σ_avg.
Tensões em um Plano Arbitrário:
- Para encontrar as tensões em um plano girado de um ângulo θ no sentido anti-horário a partir da face x no elemento físico, você deve girar 2θ no sentido anti-horário a partir da linha de referência CX no Círculo de Mohr.
- As coordenadas deste novo ponto na circunferência fornecem o novo estado de tensão (σ_x’, τ_x’y’).

Regra Fundamental: Uma rotação de θ no elemento físico de tensão corresponde a uma rotação de 2θ na mesma direção no Círculo de Mohr.

A afirmação de que as tensões no plano são independentes da coordenada z é uma consequência direta do fato de as tensões de cisalhamento σ_xz e σ_yz serem nulas. Isso pode ser provado combinando as equações de equilíbrio com as leis constitutivas (tensão-deformação) do material. No entanto, para que este modelo seja fisicamente válido, a dimensão z do objeto deve ser muito pequena em comparação com suas outras dimensões.↩︎