Simetria do tensor de tensões

Considere um paralelepípedo retangular de dimensões $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ e $\mathrm{\Delta }z$.

Segue da segunda lei de Newton para o movimento rotacional, que $$\sum M_z=I_{zz}{\alpha }_z$$ onde $M_z$ é o momento resultante em torno do eixo z, $I_{zz}$ é o momento de inércia (ou massa rotacional) em torno do eixo $z$ e ${\alpha }_z$ é a aceleração angular.

Da estática, lembramos que o momento de inércia de um bloco retangular em torno do eixo centroidal $z$ é $$I_{zz}=\frac{1}{12}m[(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2]$$ onde $m$ é a massa do elemento. Expressando $m$ em termos de densidade, podemos escrever $$m=\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$$ onde $\rho$ é a densidade de massa do material no ponto.

As componentes de tensão que contribuem para $M_z$ são as tensões de cisalhamento no plano $xy$. Forças de corpo não contribuem para o momento. Assim, o momento total pode ser expresso como Igualando isso com a expressão de inércia, obtemos Desprezando termos pequenos de ordem superior, obtemos $$0={\sigma }_{xy}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z-{\sigma }_{yx}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z,$$ o que leva a
$${\sigma }_{xy}={\sigma }_{yz}$$

Aplicando a mesma lógica para rotações em torno dos eixos x e y, podemos provar que ${\sigma }_{yz}={\sigma }_{zy}$ e ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{zx}$. Isso significa que, em geral, $${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$$ e o tensor de tensão é sempre simétrico, e para especificá-lo precisamos apenas de 6 componentes independentes (em vez de 9). O resultado é válido independentemente de o corpo estar em repouso, em movimento uniforme ou acelerando. ¹ Este resultado é conhecido como Segunda Lei do Movimento de Cauchy.