Relação entre Vetor de Tração e Tensor de Tensões

Para encontrar o vetor de tração $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 80 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ em um plano arbitrário com normal unitária $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 81 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ , analisamos o equilíbrio de um tetraedro infinitesimal. A face com área $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 82 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ é a face oblíqua, e suas projeções nos planos coordenados possuem áreas $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 83 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ , $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 84 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ e $< m j x - c o n t a i n e r c l a s s = " M a t h J a x C t x t M e n u_{A} t t a c h e d_{0} " j a x = " C H T M L " t a b i n d e x = " 0 " c t x t m e n u_{c} o u n t e r = " 85 " s t y l e = " f o n t - s i z e : 110.1$ .

Como o tetraedro está em equilíbrio estático, a soma de todas as forças deve ser igual a zero. Equilibrando as forças na direção x, obtém-se: $t_{x} Δ S = σ_{x x} Δ S_{x} + σ_{y x} Δ S_{y} + σ_{z x} Δ S_{z} + ρ b_{x} Δ V$ Aqui, o termo $t_{x} Δ S$ é a força na face oblíqua, os termos $σ$ são as forças nas faces coordenadas e $ρ b_{x} Δ V$ é a força de corpo.

Podemos usar duas relações geométricas fundamentais:

As áreas das faces coordenadas são projeções da face oblíqua: $Δ S_{x} = n_{x} Δ S, Δ S_{y} = n_{y} Δ S, Δ S_{z} = n_{z} Δ S .$
O volume de um tetraedro é $Δ V = \frac{1}{3} h Δ S$ , onde $h$ é a altura perpendicular do ponto $P$ até a face oblíqua.

Substituindo essas relações no equilíbrio de forças e dividindo por $Δ S$ , obtemos: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z} + ρ b_{x} h$

Para encontrar o vetor de tração no ponto $P$ , fazemos as dimensões do tetraedro tenderem a zero. Nesse limite, a altura $h$ se aproxima de zero, fazendo o termo da força de corpo desaparecer. Isso nos deixa com a componente x do vetor de tração: $t_{x} = σ_{x x} n_{x} + σ_{y x} n_{y} + σ_{z x} n_{z}$

Aplicando a mesma lógica às direções y e z, obtemos as outras componentes: Este conjunto de equações é conhecido como Fórmula de Tensão de Cauchy. Em notação matricial, tratando os vetores de tração e normal como vetores linha, essa relação é escrita como: $[\begin{matrix} t_{x} & t_{y} & t_{z} \end{matrix}] = [\begin{matrix} n_{x} & n_{y} & n_{z} \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}] ou 𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈$

Como discutido anteriormente, o vetor de tração (também conhecido como tensão) pode ser decomposto em duas componentes: (1) uma componente de tensão normal e (2) uma componente de tensão de cisalhamento.

**Figura 1** O vetor de tração (também conhecido como vetor de tensão) t(n) em um ponto P sobre uma superfície interna é decomposto em duas componentes: uma componente de tensão normal σn, que atua perpendicularmente à superfície, e uma componente de tensão de cisalhamento τn, que atua paralelamente à superfície.

Da figura acima, fica claro que $σ_{n} = 𝐭^{(\hat{𝐧})} \cdot \hat{𝐧}$ e, portanto, $τ_{n} = | 𝐭^{(\hat{𝐧})} - σ_{n} \hat{𝐧} |$

Exemplo 1.

Exemplo¹ Uma partícula material está em um estado de tensão com os seguintes componentes: $𝝈 = [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}]$

Calcule o vetor de tração em um plano que intercepta os eixos x, y, z em 1, 2 e 3, respectivamente.
Calcule a magnitude da tensão normal no plano.
Calcule a magnitude da tensão de cisalhamento no plano.
Calcule a direção da tensão de cisalhamento no plano.

Solução

Primeiro encontramos o vetor unitário normal ao plano.

A equação de um plano que intercepta os eixos em x=1, y=2, z=3 é: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ Este plano é normal ao vetor: $𝐧 \propto [\begin{matrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

Normalizando: $𝐧 = \frac{1}{\sqrt{(1)^{2} + (1 / 2)^{2} + (1 / 3)^{2}}} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}]$

(a) Vetor de tração no plano

O vetor de tração é: $𝐭 = \hat{𝐧} 𝝈 = [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \\ 5 & 6 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}]$

(b) Tensão normal no plano

A tensão normal é a projeção de $𝐭$ sobre $𝐧$ :

$σ_{n} = 𝐭 \cdot \hat{𝐧} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{33}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{56}{7} \cdot \frac{2}{7} = 7$

(c) e (d) Vetor de tensão de cisalhamento e sua magnitude

O vetor de tensão de cisalhamento é a componente de $𝐭$ tangente ao plano:

$𝝉 = 𝐭 - σ_{n} 𝐧$ $𝝉 = [\begin{matrix} 22 / 7 & 33 / 7 & 56 / 7 \end{matrix}] - 7 [\begin{matrix} 6 / 7 & 3 / 7 & 2 / 7 \end{matrix}] = \frac{1}{7} [\begin{matrix} - 20 & 12 & 42 \end{matrix}]$

A magnitude é: $| 𝝉 | = \sqrt{{(- \frac{20}{7})}^{2} + {(\frac{12}{7})}^{2} + {(\frac{42}{7})}^{2}} = 6.86$

A direção é: $\hat{𝝉} = \frac{𝝉}{| 𝝉 |} = \frac{1}{\sqrt{(- 20)^{2} + 12^{2} + 42^{2}}} [\begin{matrix} - 20 \\ 12 \\ 42 \end{matrix}]$

✅ Resultados Finais

Vetor de tração: $𝐭 = (\frac{22}{7}, \frac{33}{7}, \frac{56}{7})$
Tensão normal: $σ_{n} = 7$
Magnitude da tensão de cisalhamento: $| 𝝉 | = 6.86$
Direção da tensão de cisalhamento: ao longo de $[- 20, 12, 42]$

Este exemplo é das notas de aula do Prof. Suo para ES240 na Universidade Harvard, com pequena adaptação.↩︎