Relação entre Vetor de Tração e Tensor de Tensões

Para encontrar o vetor de tração t(n^) em um plano arbitrário com normal unitária n^=nxi^+nyj^+nzz^, analisamos o equilíbrio de um tetraedro infinitesimal. A face com área ΔS é a face oblíqua, e suas projeções nos planos coordenados possuem áreas ΔSx, ΔSy e ΔSz.

Como o tetraedro está em equilíbrio estático, a soma de todas as forças deve ser igual a zero. Equilibrando as forças na direção x, obtém-se: t x Δ S = σ x x Δ S x + σ y x Δ S y + σ z x Δ S z + ρ b x Δ V Aqui, o termo t x Δ S é a força na face oblíqua, os termos σ são as forças nas faces coordenadas e ρ b x Δ V é a força de corpo.

Podemos usar duas relações geométricas fundamentais:

  1. As áreas das faces coordenadas são projeções da face oblíqua: Δ S x = n x Δ S , Δ S y = n y Δ S , Δ S z = n z Δ S .
  2. O volume de um tetraedro é Δ V = 1 3 h Δ S , onde h é a altura perpendicular do ponto P até a face oblíqua.

Substituindo essas relações no equilíbrio de forças e dividindo por Δ S , obtemos: t x = σ x x n x + σ y x n y + σ z x n z + ρ b x h

Para encontrar o vetor de tração no ponto P , fazemos as dimensões do tetraedro tenderem a zero. Nesse limite, a altura h se aproxima de zero, fazendo o termo da força de corpo desaparecer. Isso nos deixa com a componente x do vetor de tração: t x = σ x x n x + σ y x n y + σ z x n z

Aplicando a mesma lógica às direções y e z, obtemos as outras componentes: Este conjunto de equações é conhecido como Fórmula de Tensão de Cauchy. Em notação matricial, tratando os vetores de tração e normal como vetores linha, essa relação é escrita como: [ t x t y t z ] = [ n x n y n z ] [ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ] ou 𝐭 = 𝐧 ^ 𝝈

Como discutido anteriormente, o vetor de tração (também conhecido como tensão) pode ser decomposto em duas componentes: (1) uma componente de tensão normal e (2) uma componente de tensão de cisalhamento.

O vetor de tração (também conhecido como vetor de tensão) t(n) em um ponto P sobre uma superfície interna é decomposto em duas componentes: uma componente de tensão normal σn, que atua perpendicularmente à superfície, e uma componente de tensão de cisalhamento τn, que atua paralelamente à superfície.
Figura 1 O vetor de tração (também conhecido como vetor de tensão) t(n) em um ponto P sobre uma superfície interna é decomposto em duas componentes: uma componente de tensão normal σn, que atua perpendicularmente à superfície, e uma componente de tensão de cisalhamento τn, que atua paralelamente à superfície.

Da figura acima, fica claro que σ n = 𝐭 ( 𝐧 ^ ) ⋅ 𝐧 ^ e, portanto, τ n = | 𝐭 ( 𝐧 ^ ) − σ n 𝐧 ^ |

Exemplo 1.

Exemplo1 Uma partícula material está em um estado de tensão com os seguintes componentes: 𝝈 = [ 1 2 5 2 3 6 5 6 4 ]

  1. Calcule o vetor de tração em um plano que intercepta os eixos x, y, z em 1, 2 e 3, respectivamente.
  2. Calcule a magnitude da tensão normal no plano.
  3. Calcule a magnitude da tensão de cisalhamento no plano.
  4. Calcule a direção da tensão de cisalhamento no plano.
Solução

Primeiro encontramos o vetor unitário normal ao plano.

A equação de um plano que intercepta os eixos em x=1, y=2, z=3 é: x 1 + y 2 + z 3 = 1 Este plano é normal ao vetor: 𝐧 ∝ [ 1 1 1 2 1 3 ]

Normalizando: 𝐧 = 1 ( 1 ) 2 + ( 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 3 ) 2 [ 1 1 2 1 3 ] = [ 6 / 7 3 / 7 2 / 7 ]

(a) Vetor de tração no plano

O vetor de tração é: 𝐭 = 𝐧 ^ 𝝈 = [ 6 / 7 3 / 7 2 / 7 ] [ 1 2 5 2 3 6 5 6 4 ] = [ 22 / 7 33 / 7 56 / 7 ]

(b) Tensão normal no plano

A tensão normal é a projeção de 𝐭 sobre 𝐧 :

σ n = 𝐭 ⋅ 𝐧 ^ = 22 7 ⋅ 6 7 + 33 7 ⋅ 3 7 + 56 7 ⋅ 2 7 = 7

(c) e (d) Vetor de tensão de cisalhamento e sua magnitude

O vetor de tensão de cisalhamento é a componente de 𝐭 tangente ao plano:

𝝉 = 𝐭 − σ n 𝐧 𝝉 = [ 22 / 7 33 / 7 56 / 7 ] − 7 [ 6 / 7 3 / 7 2 / 7 ] = 1 7 [ − 20 12 42 ]

A magnitude é: | 𝝉 | = ( − 20 7 ) 2 + ( 12 7 ) 2 + ( 42 7 ) 2 = 6.86

A direção é: 𝝉 ^ = 𝝉 | 𝝉 | = 1 ( − 20 ) 2 + 12 2 + 42 2 [ − 20 12 42 ]

✅ Resultados Finais

  • Vetor de tração: 𝐭 = ( 22 7 , 33 7 , 56 7 )
  • Tensão normal: σ n = 7
  • Magnitude da tensão de cisalhamento: | 𝝉 | = 6.86
  • Direção da tensão de cisalhamento: ao longo de [ − 20 , 12 , 42 ]
  1. Este exemplo é das notas de aula do Prof. Suo para ES240 na Universidade Harvard, com pequena adaptação.↩︎