Stress Components

Infinitos planos podem passar por um ponto $P$ , cada um com sua própria normal $\hat{𝐧}$ e vetor de tração $𝐭^{(\hat{𝐧})}$ correspondente. A totalidade desses pares define o estado de tensão em $P$ . Na próxima seção, mostraremos que o estado de tensão pode ser completamente determinado conhecendo-se os vetores de tração em apenas três planos mutuamente perpendiculares. Isto é, se conhecermos as componentes do vetor de tração em três planos mutuamente perpendiculares, podemos determinar o vetor de tração em qualquer plano arbitrário.

Sejam as normais unitárias desses três planos os vetores da base ${\hat{𝐞}}_{1}$ , ${\hat{𝐞}}_{2}$ e ${\hat{𝐞}}_{3}$ .^[1] O vetor de tração no plano perpendicular ao eixo x₁ é $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{1})}$ . Por simplicidade, denotamos $𝐭^{({\hat{𝐞}}_{i})}$ como $𝐭^{(i)}$ . Como cada $𝐭^{(i)}$ é um vetor, ele tem três componentes na base:

Denotamos a j-ésima componente do vetor $𝐭^{(i)}$ como $σ_{i j}$ . Esses nove valores escalares são as componentes do tensor de tensão de Cauchy. Eles são tipicamente organizados em uma matriz:

[𝝈] = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & σ_{13} \\ σ_{21} & σ_{22} & σ_{23} \\ σ_{31} & σ_{32} & σ_{33} \end{matrix}]

Se a normal de um plano for ${\hat{𝐞}}_{1}$ , a componente $t_{1}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{1} = σ_{11} {\hat{𝐞}}_{1}$ é normal à superfície, enquanto $t_{2}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{2} = σ_{12} {\hat{𝐞}}_{2}$ e $t_{3}^{(1)} {\hat{𝐞}}_{3} = σ_{13} {\hat{𝐞}}_{3}$ são as componentes de cisalhamento.

Em geral, as componentes diagonais $σ_{i i}$ ( $σ_{11}$ , $σ_{22}$ , $σ_{33}$ ) são chamadas de tensões normais, enquanto as componentes fora da diagonal $σ_{i j}$ onde $i \neq j$ ( $σ_{12}$ , $σ_{13}$ , etc.) são chamadas de tensões de cisalhamento.

Outras Notações

Outras notações comuns para a matriz do tensor de tensão incluem:

[\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x z} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y z} \\ σ_{z x} & σ_{z y} & σ_{z z} \end{matrix}], [\begin{matrix} τ_{x x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & τ_{y y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & τ_{z z} \end{matrix}],

e a notação de engenharia, que usa $σ$ para tensões normais e $τ$ para tensões de cisalhamento:

[\begin{matrix} σ_{x} & τ_{x y} & τ_{x z} \\ τ_{y x} & σ_{y} & τ_{y z} \\ τ_{z x} & τ_{z y} & σ_{z} \end{matrix}]

Unidades de Tensão

No sistema internacional ou SI:

Força medida em newtons (N)
Área medida em metros quadrados (m $^{2}$ )
Como a tensão é força dividida pela área, a tensão é medida em N/m $^{2}$ . Essa unidade é chamada de pascal e denotada por Pa:
$1 Pa = 1 {N/m}^{2}$
Como um pascal é bastante pequeno, a tensão é frequentemente medida em
- kPa = quilo (10 $^{3}$ ) pascal,
- MPa = mega (10 $^{6}$ ) pascal
- GPa = giga (10 $^{9}$ ) pascal

No sistema usual dos EUA:

A força é medida em libras (lb)
A área é medida em polegadas quadradas (in $^{2}$ )
A tensão é expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi) $1 ksi = 10^{3} psi = 10^{3} {lb/in}^{2} .$

Convenção de Sinais

Uma face é definida como positiva se seu vetor normal externo alinha-se com um eixo coordenado positivo, e negativa se sua normal externa alinha-se com um eixo coordenado negativo.

Uma componente de tensão é considerada positiva se atua em uma direção coordenada positiva em uma face positiva, ou se atua em uma direção negativa em uma face negativa. Uma consequência fundamental dessa convenção é que tensões normais de tração são positivas e tensões de compressão são negativas.

ou $\hat{𝐢}$ , $\hat{𝐣}$ e $\hat{𝐤}$ . ↩