Princípio de Saint-Venant
De Sokolnikoff, I. S. (1941). Teoria matemática da elasticidade. Brown University.
É óbvio, a partir da formulação dos problemas fundamentais de valor de contorno da teoria da Elasticidade, que a solução exata desses problemas provavelmente apresentará dificuldades matemáticas formidáveis devido à forma complicada das condições de contorno. Frequentemente, é possível obter uma solução do problema se as condições de contorno forem ligeiramente modificadas, e vale notar que, nas aplicações tecnológicas da teoria da Elasticidade, pode-se apenas aproximar a formulação matemática das condições de contorno, de modo que a solução matemática do problema representa apenas uma aproximação da situação real.
Em 1855, B. de Saint Venant expressou um princípio que concorda bem com as aplicações da teoria da Elasticidade a problemas práticos. A essência do princípio pode ser enunciada da seguinte forma:
Se uma determinada distribuição de forças atuando sobre uma porção da superfície de um corpo for substituída por uma distribuição diferente de forças, atuando sobre a mesma porção do corpo, então os efeitos das duas distribuições diferentes sobre as partes do corpo suficientemente afastadas da região de aplicação das forças são essencialmente os mesmos, desde que as duas distribuições de forças sejam estaticamente equivalentes.
A expressão “estaticamente equivalentes” significa que as duas distribuições de forças têm a mesma força resultante e o mesmo momento resultante.
Para ilustrar o significado do princípio, considere uma viga longa, com uma extremidade fixada em uma parede rígida, enquanto a outra é submetida a uma distribuição de forças que dá origem a uma força resultante F e a um binário de momento M.
Ora, existem infinitas distribuições de forças que podem atuar na extremidade da viga e que terão a mesma resultante F e o mesmo momento resultante M.
O princípio de Saint Venant afirma que, embora as distribuições de tensões e deformações próximas à região de aplicação possam diferir bastante, as excentricidades da distribuição local não terão efeito apreciável sobre o estado de tensão suficientemente distante dos pontos de aplicação, desde que os sistemas de forças aplicadas sejam estaticamente equivalentes.
Este princípio é de grande utilidade em aplicações práticas, pois permite alterar as condições de contorno e, assim, simplificar o problema.
Poder-se-ia suspeitar, pela generalidade do enunciado do Princípio, que este não é fácil de justificar em todos os casos com bases puramente matemáticas. Em instâncias específicas, pode-se calcular a distribuição de tensões produzida por vários sistemas de forças estaticamente equivalentes e, em problemas sobre vigas, por exemplo, é razoável supor que as excentricidades locais não são sentidas a distâncias que são cerca de dez vezes a maior dimensão linear da área sobre a qual as forças estão distribuídas.
Faremos algum uso deste princípio nos próximos capítulos.