Condições de contorno

As 15 equações governantes da elasticidade formam um sistema de equações diferenciais parciais que possui infinitas soluções. Para encontrar a solução específica que corresponde a um determinado problema físico, devemos impor condições de contorno, que especificam as restrições físicas na superfície do corpo elástico.

Para qualquer ponto dado na superfície do corpo, um de dois tipos de condições deve ser prescrito. Considere o corpo ocupando um domínio $\mathrm{\Omega }$ com uma superfície de contorno $\mathrm{\Gamma }$.

1. Condições de Contorno de Deslocamento

Esta condição prescreve o deslocamento dos pontos na superfície. É usada para modelar partes de um corpo que estão fixas, engastadas ou forçadas a se mover de uma maneira específica.

Se uma porção do contorno, denotada por ${\mathrm{\Gamma }}_u$, tiver seu deslocamento especificado, a condição é escrita como: $$u_i(x,y,z,t)=u_i^{\ast }$$ onde $u_i^{\ast }$ são as componentes conhecidas do vetor de deslocamento prescrito nessa superfície. Um exemplo comum é a extremidade fixa de uma viga em balanço, onde $u_i^{\ast }=0$.

2. Condições de Contorno de Tração

Esta condição prescreve as forças atuantes na superfície. Essas forças são descritas pelo vetor de tração, $𝐭$, que é a força por unidade de área. É usada para modelar superfícies submetidas a pressões, cargas distribuídas ou forças de contato.

O vetor de tração está relacionado ao estado de tensão interno na superfície pela relação de tensão de Cauchy: $$t_i=n_j{\sigma }_{ji}$$ ou $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈.$$ onde $n_j$ são as componentes do vetor normal unitário apontando para fora da superfície e a soma sobre o índice repetido $j$ está implícita.

Se uma porção do contorno, denotada por ${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$, tiver suas trações especificadas, a condição é escrita como: $$t_i(x,y,z,t)=n_j{\sigma }_{ji}=t_i^{\ast }$$ ou $$𝐭=\widehat{𝐧}\cdot 𝝈={𝐭}^{\ast }.$$ onde $t_i^{\ast }$ são as componentes conhecidas do vetor de tração prescrito. Uma “superfície livre”, que não possui forças atuando sobre ela, é um exemplo comum e importante onde $t_i^{\ast }=0$.

Condições de Contorno Mistas

Na maioria dos problemas de engenharia, as condições de contorno são do tipo misto. Os deslocamentos são prescritos em uma parte da superfície (${\mathrm{\Gamma }}_u$), enquanto as trações são prescritas na parte restante (${\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$). Todo o contorno deve ser coberto, e essas duas regiões devem ser disjuntas: $$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_u\cup {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }\text{and}{\mathrm{\Gamma }}_u\cap {\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }=\mathrm{\varnothing }$$ Juntas, as equações de campo governantes e um conjunto completo de condições de contorno formam um problema bem-posto, garantindo a existência de uma solução única.