As Equações Governantes da Elasticidade

O objetivo de qualquer problema em mecânica dos sólidos é determinar a distribuição de deslocamentos, deformações e tensões ao longo de um corpo submetido a forças externas. Isso requer um conjunto de equações governantes que são baseadas em três princípios físicos fundamentais: o equilíbrio de forças (equilíbrio), a geometria da deformação (cinemática) e a resposta do material (lei constitutiva).

Para um corpo elástico tridimensional, devemos resolver um total de 15 grandezas de campo desconhecidas em cada ponto $(x,y,z)$ no interior do corpo.

As 15 Incógnitas

As 15 incógnitas podem ser agrupadas em três categorias:

1. Vetor Deslocamento (3 incógnitas): Estes descrevem como cada ponto no corpo se move.
   • $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$, $w(x,y,z)$
2. Tensor de Deformação (6 incógnitas independentes): Estes descrevem a deformação (alongamento e cisalhamento) do material. O tensor de deformação é simétrico (${ϵ}_{ij}={ϵ}_{ji}$), portanto possui 6 componentes únicas.
   • Deformações Normais: ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$
   • Deformações de Cisalhamento: ${ϵ}_{xy},{ϵ}_{yz},{ϵ}_{xz}$
3. Tensor de Tensão (6 incógnitas independentes): Estes descrevem as forças internas atuando em superfícies infinitesimais no interior do material. Devido ao equilíbrio de momentos, o tensor de tensão também é simétrico (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), resultando em 6 componentes únicas.
   • Tensões Normais: ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{zz}$
   • Tensões de Cisalhamento: ${\sigma }_{xy},{\sigma }_{yz},{\sigma }_{xz}$

Total de Incógnitas = 3 (Deslocamentos) + 6 (Deformações) + 6 (Tensões) = 15 Grandezas.

Para resolver essas 15 incógnitas, precisamos de um número igual de equações independentes, que são fornecidas pelas leis fundamentais da mecânica do contínuo.

As 15 Equações Governantes

As 15 equações são derivadas de três princípios fundamentais:

1. Equações de Equilíbrio (3 Equações)

Considerando um elemento infinitesimal no interior do corpo, decorre da segunda lei de Newton ($\mathrm{\Sigma }𝐅=m𝐚$) que as componentes de tensão satisfazem as seguintes equações de movimento: $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}+\rho b_x=\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zy}}{\partial z}+\rho b_y=\rho \frac{{\partial }^{2}v}{\partial t^2}$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\rho b_z=\rho \frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}$$ Nas equações acima, é o campo de deslocamento e $𝐛$ é a força de corpo por unidade de massa.

As equações de equilíbrio são frequentemente escritas em notação indicial compacta como $${\sigma }_{ji,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i,(i=1,2,3)$$ onde ${}_{,j}$ significa diferenciação em relação a $x_j$, a soma sobre o índice repetido $j$ está implícita (notação de Einstein), e um ponto duplo é usado para denotar a segunda derivada em relação ao tempo.

Outra forma de escrever a equação acima é a seguinte $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝝈+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}.$$

2. Equações Cinemáticas (Deformação-Deslocamento) (6 Equações) Estas são relações geométricas que definem as componentes do tensor de deformação em termos das derivadas do vetor deslocamento. Elas são válidas sob a hipótese de pequenas deformações. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}$$ $${ϵ}_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$$ $${ϵ}_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})$$ $${ϵ}_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})$$ De forma compacta: $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}),$$ ou $$𝝐=\frac{1}{2}[\mathrm{\nabla }𝝐+\mathrm{\nabla }(𝝐{)}^T].$$ 3. Equações Constitutivas / Lei de Hooke Generalizada (6 Equações) Estas equações descrevem o comportamento intrínseco do material relacionando tensão a deformação. Em geral: $${\sigma }_{ij}=C_{ijkl}{ϵ}_{kl}$$ * Observe que a soma sobre os índices repetidos $k$ e $l$ está implícita. Ou seja, $$C_{ijkl}{ϵ}_{kl}=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3{C}_{ijkl}{ϵ}_{kl}.$$ Para um material elástico linear e isotrópico, essa relação é definida por duas constantes do material, tipicamente o Módulo de Young ($E$) e o Coeficiente de Poisson ($\nu$). $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu ({ϵ}_{yy}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{zz})]$$ $${\sigma }_{zz}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{zz}+\nu ({ϵ}_{xx}+{ϵ}_{yy})]$$ $${\sigma }_{xy}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xy}$$ $${\sigma }_{yz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{yz}$$ $${\sigma }_{xz}=\frac{E}{1+\nu }{ϵ}_{xz}$$ ou de forma compacta $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu {ϵ}_{ij},$$ ou $$𝝈=\lambda (\mathrm{tr}𝝐)𝑰+2\mu 𝝐.$$ #### Resumo

A teoria da elasticidade linearizada é um arcabouço matemático fechado e completo. Estabelecemos um sistema de 15 incógnitas e um conjunto correspondente de 15 equações independentes:

• 3 Equações de Equilíbrio
• 6 Equações Cinemáticas
• 6 Equações Constitutivas

Essa igualdade garante que o problema é matematicamente bem-posto. Aplicando-se condições de contorno apropriadas (ou seja, especificando as forças ou deslocamentos na superfície do corpo), uma solução única para os campos de tensão, deformação e deslocamento pode ser determinada.