A Equação de Navier

Podemos expressar todas as equações em termos do campo de deslocamento. Sua principal vantagem é que combina os três conjuntos de equações governantes (equilíbrio, cinemática e constitutiva) em uma única equação vetorial, reduzindo o problema de 15 incógnitas (tensão, deformação, deslocamento) para apenas 3 (as componentes do vetor deslocamento $𝐮$).

A derivação envolve uma substituição sistemática, começando com a equação de equilíbrio e substituindo progressivamente a tensão pela deformação e, em seguida, a deformação pelo deslocamento.

Começamos com os três conjuntos fundamentais de equações em notação indicial.

1. Equação de Equilíbrio (Equação do Movimento): Esta equação relaciona o divergente do tensor de tensões com as forças de corpo e a inércia. onde ${\sigma }_{ji}$ é o tensor de tensões, $\rho$ é a massa específica, $b_i$ é a força de corpo por unidade de massa e $u_i$ é o vetor deslocamento.

Forma alternativa:

2. Lei Constitutiva (Lei de Hooke Generalizada para Materiais Isotrópicos): Esta lei relaciona tensão e deformação utilizando os dois parâmetros de Lamé, $\lambda$ e $\mu$ (o módulo de cisalhamento, $G$). onde ${ϵ}_{ij}$ é o tensor de deformações, ${ϵ}_{kk}={ϵ}_{11}+{ϵ}_{22}+{ϵ}_{33}$ é a deformação volumétrica (traço do tensor de deformações) e ${\delta }_{ij}$ é o delta de Kronecker.

Forma alternativa:

3. Relação Cinemática (Deformação-Deslocamento): Esta equação define a deformação em termos dos gradientes de deslocamento para pequenas deformações. ou O Processo de Substituição:

Etapa A: Expressar a Tensão em Termos do Deslocamento Primeiro, substitua a relação cinemática (3) na lei constitutiva (2). $${\sigma }_{ij}=\lambda {ϵ}_{kk}{\delta }_{ij}+2\mu [\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})]$$ O termo de deformação volumétrica ${ϵ}_{kk}$ também precisa ser expresso em termos do deslocamento: $${ϵ}_{kk}=u_{k,k}=u_{1,1}+u_{2,2}+u_{3,3}$$ Substituindo isso de volta, obtemos a tensão puramente em termos do deslocamento:

Forma alternativa: Primeiro, observe que o traço do tensor de deformações é o divergente do vetor deslocamento: $$\text{tr}(𝝐)=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮$$ Substitua isso e a relação cinemática (3') na lei constitutiva (2'): $$𝝈=\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+2\mu [\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]$$

Etapa B: Substituir a Tensão na Equação de Equilíbrio Agora, substitua esta expressão para a tensão (4) na equação de equilíbrio (1). Como o tensor de tensões é simétrico (${\sigma }_{ij}={\sigma }_{ji}$), podemos substituir ${\sigma }_{ji}$ por ${\sigma }_{ij}$. $${[\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}+\mu (u_{i,j}+u_{j,i})]}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Agora aplicamos a derivada em relação a $x_j$ aos termos entre colchetes: $$(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}+(\mu u_{i,j}{)}_{,j}+(\mu u_{j,i}{)}_{,j}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Vamos analisar cada termo, assumindo que $\lambda$ e $\mu$ são constantes: * Termo 1: $(\lambda u_{k,k}{\delta }_{ij}{)}_{,j}=\lambda (u_{k,k}{)}_{,j}{\delta }_{ij}$. Devido ao delta de Kronecker ${\delta }_{ij}$, este termo é não nulo apenas quando $j=i$. Assim, a derivada passa a ser em relação a $x_i$: $\lambda (u_{k,k}{)}_{,i}=\lambda u_{k,ki}$. * Termo 2: $(\mu u_{i,j}{)}_{,j}=\mu u_{i,jj}$. * Termo 3: $(\mu u_{j,i}{)}_{,j}=\mu u_{j,ij}$. Supondo que o campo de deslocamento seja suficientemente suave, podemos inverter a ordem de diferenciação: $\mu u_{j,ji}=\mu (u_{j,j}{)}_{,i}$.

Combinando estes termos obtemos: $$\lambda u_{k,ki}+\mu u_{i,jj}+\mu u_{j,ji}+\rho b_i=\rho {\ddot{u}}_i$$ Observe que $u_{k,k}$ e $u_{j,j}$ representam ambos o divergente do campo de deslocamento. Podemos agrupar o primeiro e o terceiro termos:

Esta é a equação de Lamé-Navier em notação indicial.

Forma alternativa:

Agora, tome o divergente da expressão da tensão (4') e substitua na equação de equilíbrio (1'): $$\mathrm{\nabla }\cdot [\lambda (\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)𝐈+\mu (\mathrm{\nabla }𝐮+(\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)]+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Utilizamos as seguintes identidades padrão do cálculo vetorial: * $\mathrm{\nabla }\cdot (f𝐈)=\mathrm{\nabla }f$ * $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐮)={\mathrm{\nabla }}^2𝐮$ (o Laplaciano vetorial) * $\mathrm{\nabla }\cdot ((\mathrm{\nabla }𝐮{)}^T)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)$

Aplicando essas identidades à nossa equação (assumindo $\lambda$ e $\mu$ constantes): $$\lambda \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\mu ({\mathrm{\nabla }}^2𝐮)+\mu \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\rho 𝐛=\rho \ddot{𝐮}$$ Finalmente, agrupe os termos com o gradiente do divergente:

Condições de Contorno em Termos do Deslocamento

As condições de contorno que discutimos na seção anterior $$n_j{\sigma }_{ij}=t_i^{}\text{em }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{em }{\mathrm{\Gamma }}_u$$ podem ser expressas em termos do campo de deslocamento como $$[n_j\mu (u_{i,j}+u_{j,i})+n_i\lambda u_{k,k}]=t_i^{\ast }\text{em }{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma }$$ $$u_i=u_i^{\ast }\text{em }{\mathrm{\Gamma }}_u.$$