Hydrostatic and Deviator Components of Stress

Experimentos mostram que materiais podem suportar pressões hidrostáticas muito elevadas (estado esférico de tensão) sem sofrer deformação plástica.^[1] Em muitos problemas, particularmente na teoria da plasticidade, é desejável designar a parte da tensão total que pode ser efetiva na produção de deformação plástica. Isto é conhecido como o desviador de tensão . O outro componente é o componente hidrostático de tensão $σ_{m}$ .

Na teoria da plasticidade, é, portanto, essencial separar matematicamente o estado total de tensão em dois componentes:

Um componente que tenta causar uma mudança de volume.
Um componente que causa uma mudança de forma (distorção), que é responsável pela deformação plástica.

O componente que causa mudança de forma é conhecido como tensão desviadora (ou o desviador de tensão), denotado por (ou, por vezes, por $s_{i j}$ ). O componente que causa mudança de volume é a tensão hidrostática, denotada por $σ_{m}$ .

A tensão média ou hidrostática, $σ_{m}$ , é a média das tensões normais ou a média das três tensões principais ( $p$ é a pressão normal média).

A tensão desviadora é o que resta da tensão total após a subtração do componente hidrostático:

onde $𝐈$ é o tensor (matriz) unitário 3x3, e $δ_{i j}$ é o delta de Kronecker:

Observe: Os elementos fora da diagonal do desviador de tensão são os mesmos que os elementos correspondentes do tensor de tensão. Ou seja,

Os componentes principais do tensor de tensão desviadora são dados por:

A partir dessas definições, pode-se demonstrar facilmente que a soma das tensões desviadoras principais é sempre zero:

Invariantes do Desviador de Tensão

Quando o desviador de tensão é expresso em um sistema de coordenadas arbitrário ( $x, y, z$ ), seus valores principais podem ser encontrados como as raízes da seguinte equação cúbica:

Os coeficientes $J_{2}$ e $J_{3}$ são o segundo e o terceiro invariantes do desviador de tensão. Eles são chamados de "invariantes" porque seus valores são independentes do sistema de coordenadas usado para descrever o estado de tensão. Essas quantidades são fundamentais na teoria matemática da plasticidade.

Os invariantes podem ser calculados a partir dos componentes do tensor de tensão da seguinte forma:

Primeiro Invariante, $J_{1}$ :

Segundo Invariante, $J_{2}$ :

Terceiro Invariante, $J_{3}$ :

Também podemos mostrar que^[2]

J_{2} = - \frac{1}{3} I_{1}^{2} + I_{2}

J_{3} = I_{3} - \frac{1}{3} I_{1} I_{2} + \frac{3}{27} I_{1}^{3},

onde $I_{1}$ , $I_{2}$ e $I_{3}$ são o primeiro, o segundo e o terceiro invariantes do tensor de tensão.

Desviador de Deformação

De maneira análoga à definição do desviador de tensão, podemos definir a deformação desviadora (ou desviador de deformação). Isto é, subtraindo a deformação média do tensor de deformação $ϵ_{i j}$ , obtemos o desviador de deformação :

Se o material é isotrópico e obedece à lei de Hooke, temos

onde $G$ é o módulo de cisalhamento.