Deformação Verdadeira e Tensão Verdadeira

A curva tensão-deformação de engenharia não representa com precisão o comportamento de deformação de um material, pois é calculada usando as dimensões originais do corpo de prova, que mudam continuamente durante o ensaio. Em operações de conformação de metais, como a trefilação, por exemplo, a área da seção transversal da peça diminui significativamente. Portanto, é mais significativo definir tensão e deformação com base nas dimensões instantâneas. Como as mudanças dimensionais são mínimas dentro do regime elástico, essa distinção foi desnecessária na discussão anterior.

Deformação Verdadeira vs Deformação de Engenharia

A equação

onde $L_0$ é a distância inicial entre duas marcas de referência e $L$ é a distância atual entre elas, descreve o conceito convencional de deformação linear unitária, ou seja, a variação do comprimento referida ao comprimento unitário original.

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{1}{L_0}{\int }_{L_0}^{L}dL$$

Esta definição de deformação, chamada deformação de engenharia ou deformação nominal, é satisfatória para deformações elásticas onde $\mathrm{\Delta }L$ é muito pequeno. No entanto, em deformação plástica, as deformações são frequentemente grandes e, durante o alongamento, o comprimento útil muda consideravelmente. Ludwik, em 1909, propôs pela primeira vez a definição de deformação verdadeira, ou deformação natural, $ϵ$, que elimina essa dificuldade. Nesta definição de deformação, a variação do comprimento é referida ao comprimento útil instantâneo, em vez do comprimento útil original.

ou

A relação entre deformação verdadeira e deformação linear convencional decorre da Eq. (1).

$$e=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0}=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$e+1=\frac{L}{L_0}$$

As duas medições de deformação fornecem resultados quase idênticos até deformações de cerca de 0,1.

Como o volume permanece essencialmente constante durante a deformação plástica, a Eq. (3) pode ser escrita em termos de comprimento ou de área.

Além disso, devido à constância do volume, a soma das três deformações principais é igual a zero.

Essa relação não é válida para as deformações convencionais principais.

A vantagem de usar a deformação verdadeira deve ficar evidente no exemplo a seguir:

Considere um cilindro uniforme que é estendido até o dobro de seu comprimento original. A deformação linear é então $e=(2L_0-L_0)/L_0=1,0$, ou uma deformação de 100 por cento. Para obter a mesma quantidade de deformação linear negativa em compressão, o cilindro teria que ser comprimido até a espessura zero. No entanto, intuitivamente, esperaríamos que a deformação produzida ao comprimir um cilindro até metade de seu comprimento original fosse a mesma, embora com sinal oposto, que a deformação produzida ao estender o cilindro até o dobro de seu comprimento. Se a deformação verdadeira for usada, a equivalência é obtida nos dois casos. Para extensão até o dobro do comprimento original, $ϵ=\ln (2L_0/L_0)=\ln 2$. Para compressão até metade do comprimento original,

$$ϵ=\ln [(L_0/2)/L_0]=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2.$$

Tensão Verdadeira vs Tensão de Engenharia

Ao analisar o comportamento mecânico dos materiais, é crucial distinguir entre duas definições-chave de tensão. Embora essas duas medidas sejam quase idênticas na região elástica, onde as deformações são pequenas, seus valores divergem significativamente durante a deformação plástica.

Curvas de Engenharia vs. Verdadeiras: Uma Comparação Visual

A figura a seguir compara as curvas tensão-deformação de engenharia e verdadeira para duas ligas estruturais comuns. Várias características merecem destaque.

As duas curvas para cada material ficam quase sobrepostas na região elástica (abaixo de aproximadamente 1% de deformação), confirmando que as medidas de engenharia e verdadeira são intercambiáveis para pequenas deformações. Uma vez que o escoamento plástico significativo começa, as curvas divergem. Para o aço, a curva de engenharia atinge um pico em aproximadamente 440 MPa (o UTS) perto de 6% de deformação de engenharia e então cai para cerca de 330 MPa na fratura. A tensão verdadeira nesse mesmo ponto de fratura é de aproximadamente 545 MPa (quase 65% maior) porque a área da estricção que se reduz rapidamente eleva σ = P/A mesmo quando a carga P diminui. O alumínio exibe o mesmo comportamento qualitativo, com a tensão de fratura verdadeira
(aproximadamente 415 MPa) excedendo substancialmente o UTS de engenharia (~310 MPa).

Derivando a Relação entre Tensão Verdadeira e de Engenharia

Podemos derivar uma relação matemática direta para converter a tensão de engenharia (facilmente medida) na tensão verdadeira (fisicamente mais significativa). Essa conversão se baseia em uma premissa fundamental sobre o comportamento do material durante a deformação plástica.

Começamos com a definição de tensão verdadeira e usamos uma simples manipulação algébrica para introduzir o termo da tensão de engenharia. Multiplicamos a equação por $A_0/A_0$, o que equivale a multiplicar por um:

$$\sigma =\frac{P}{A}=\frac{P}{A_0}\cdot \frac{A_0}{A}$$

Observe que o termo $P/A_0$ é simplesmente a definição de tensão de engenharia, $s$. Portanto, podemos escrever:

$$\sigma =s\left(\frac{A_0}{A}\right)$$

Como o volume do corpo de prova permanece constante durante os ensaios, temos A₀L₀ = AL e, portanto, podemos escrever

$$\sigma =s\frac{L}{L_0}$$

Porque

$$e=\frac{L-L_0}{L_0}=\frac{L}{L_0}-1$$$$\Rightarrow \frac{L}{L_0}=1+e$$

obtemos

1. A generalização 3D do conceito de tensão de engenharia é chamada de primeira tensão de Piola-Kirchhoff. ↩
2. Tensão verdadeira é o que chamamos de tensão de Cauchy. ↩