A Cantilever Beam with an End Load

Agora vamos analisar os campos de tensão e deslocamento em uma viga prismática em balanço submetida a uma força transversal concentrada. Este caso é fundamentalmente diferente da flexão pura porque a presença de uma força transversal exige a existência de um esforço cortante interno que varia ao longo do comprimento da viga. É esse cisalhamento que se revelará a origem da deformação não plana.

Considere uma viga reta de seção transversal retangular de comprimento $L$, altura $h$ e largura $b$. A viga está engastada na extremidade $x=0$ e livre na extremidade $x=L$. Uma força vertical concentrada, $P$, atua para baixo na extremidade livre.

Etapa 1: Hipóteses e Condições de Contorno

1. A Hipótese de Tensão Plana

Como no caso da flexão pura, a viga é esbelta e o carregamento está confinado ao plano xy. Portanto, assumimos um estado de tensão plana, onde as componentes de tensão na direção z são desprezíveis: $${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$$

2. Formulação das Condições de Contorno

• Nas Superfícies Superior e Inferior ($y=\pm h/2$): Essas superfícies estão livres de qualquer carregamento aplicado. $${\sigma }_y{|}_{y=\pm h/2}=0$$ $${\tau }_{xy}{|}_{y=\pm h/2}=0$$
• Na Extremidade Livre ($x=0$): A distribuição de tensões deve ser estaticamente equivalente a uma força vertical para baixo $P$.
  • Força Axial Resultante Nula: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xx}{)}_{x=0}\cdot \stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • Momento Fletor Resultante Nulo: O momento na extremidade livre é zero. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xx}{)}_{x=0}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • Força Cortante Resultante: A força vertical resultante deve ser igual a $-P$. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_{xy}{)}_{x=0}\cdot bdy=-P$$
• Na Extremidade Engastada ($x=L$): Aqui os deslocamentos e a rotação são nulos. Usaremos essas condições mais tarde ao determinar o campo de deslocamentos.

Etapa 2: Solução com a Função de Tensão de Airy

Uma vez que o momento fletor é $M(x)=Px$, e da resistência dos materiais, sabemos que ${\sigma }_x=-{\displaystyle \frac{M(x)y}{I}}={\displaystyle \frac{Pxy}{I}}$ e ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^2}}$, esperamos que $\varphi$ contenha um termo da forma $$\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=cxy$$

A integração em relação a y fornece

$$\frac{\partial \varphi }{\partial y}=\frac{1}{2}Cx{y}^2+f_1(x)$$

Integrando novamente em relação a y obtém-se

$$\varphi =\frac{1}{6}Cx{y}^3+f_1(x)y+f_2(x).$$

Sabemos que $\varphi$ deve satisfazer ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$ ou

$$\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}=0.$$

A substituição de $\varphi$ na equação acima fornece

$$f_1^{(4)}(x)y+f_2^{(4)}(x)=0$$

Como essa equação deve ser satisfeita para todo valor de y, devemos ter

$$f_1^{(4)}(x)=0\text{and}{f}_2^{(4)}(x)=0$$

Isso significa

$$f_1(x)=C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x+C_5$$

$$f_2(x)=C_6{x}^3+C_7{x}^2+C_{8}x+C_9$$

e

$$\varphi (x,y)=C_{1}x{y}^3+(C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x+C_5)y+(C_6{x}^3+C_7{x}^2+C_{8}x+C_9).$$

Onde $C_1=\frac{1}{6}C$.

Lembre-se de que os termos constantes e lineares não contribuem para as componentes de tensão, portanto podemos fazer

$$C_5=C_8=C_9=0$$

e

$$\varphi (x,y)=C_{1}x{y}^3+(C_2{x}^3+C_3{x}^2+C_{4}x)y+C_6{x}^3+C_7{x}^2.$$

Para determinar os coeficientes, vamos aplicar as condições de contorno nas superfícies superior e inferior:

$${\sigma }_y{|}_{y=\pm h/2}={\tau }_{xy}{|}_{y=\pm h/2}=0$$ Essas condições fornecem as seguintes equações

Como essas equações devem ser satisfeitas para todo valor de x, devemos ter:

Portanto

$$\varphi =C_{1}x{y}^3-\frac{3C_1{h}^2}{4}xy$$

Para determinar $C_1$, usamos a condição

$${\int }_{-h/2}^{h/2}b{\tau }_{xy}dy=-P$$

Isso fornece

$$b{C}_1\frac{h^3}{2}=P\Rightarrow C_1=\frac{2P}{b{h}^3}$$ Como $I=\frac{1}{12}b{h}^3$, podemos escrever

$$C_1=\frac{2P}{12\cdot \frac{b{h}^3}{12}}=\frac{P}{6I}$$

e

$$\varphi (x,y)=\frac{P}{6I}x{y}^3-\frac{3\cdot P\cdot h^2}{24I}xy.$$ $$$$

Agora podemos calcular facilmente as componentes de tensão:

Esse campo de tensões satisfaz o equilíbrio e todas as condições de contorno nas superfícies superior, inferior e na extremidade livre.

Etapa 3: Dedução do Campo de Deslocamentos ($u$, $v$)

Agora integramos as relações deformação-deslocamento usando o campo de tensões correto.

1. Determinação das Deformações (Tensão Plana)

$${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=\frac{Pxy}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{\nu Pxy}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=\frac{P}{2GI}[{\left(\frac{h}{2}\right)}^2-y^2]$$ ### 2. Integrar as Relações Deformação-Deslocamento Integrando ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$: $$u(x,y)=\int \frac{Pxy}{EI}dx=\frac{P{x}^{2}y}{2EI}+f(y)$$ Integrando ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$: $$v(x,y)=\int -\frac{\nu Pxy}{EI}dy=-\frac{\nu Px{y}^2}{2EI}+g(x)$$ Usando a relação de deformação por cisalhamento ${\gamma }_{xy}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}}+{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}=0$: Rearranjando para separar as variáveis: Como o lado esquerdo depende apenas de $x$ e o direito apenas de $y$, ambos devem ser iguais a uma constante, $k$. Resolvendo para $g(x)$ e $f(y)$ obtemos $$⟹f(y)=\nu \frac{P{y}^3}{6EI}-\frac{P{y}^3}{6GI}+\frac{P{h}^{2}y}{8GI}-ky+n.$$ Portanto: ### 3. Aplicar as Condições de Contorno no Engaste

Na extremidade engastada, a viga está totalmente restringida. Impomos que o centroide da extremidade engastada não se desloque e que a inclinação da linha neutra seja nula.

1. Condição 1: Deslocamento horizontal nulo na extremidade engastada $$u(L,0)=0⟹n=0$$
2. Condição 2: Deslocamento vertical nulo na extremidade engastada: $$v(L,0)=0⟹m=-kL-\frac{P{L}^3}{6EI}.$$ Precisamos de mais uma condição para determinar k.
3. Condição 3: Rotação nula da viga em relação à extremidade engastada. Temos duas opções:
   1. Inclinação nula da linha neutra na extremidade engastada. $${\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)}_{x=L,y=0}=0$$
   2. Rotação nula do elemento vertical da seção transversal no centroide da seção da extremidade. $${\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}_{x=L,y=0}=0.$$ Vamos aplicar a condição ${\left({\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}\right)}_{x=L,y=0}=0$. A derivada de $v$ em relação a $x$ é : $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\nu P{y}^2}{2EI}-\frac{P{x}^2}{2EI}+k$$ Substituindo 0 para y e L para x, e igualando a expressão acima a zero, obtemos $$k=\frac{P{L}^2}{2EI}$$ e $m=-{\displaystyle \frac{P{L}^3}{2EI}}+{\displaystyle \frac{P{L}^3}{6EI}}=-{\displaystyle \frac{P{L}^3}{3EI}}$. Portanto,

A deflexão máxima ocorre na extremidade livre ($x=0$) e é igual a ${\displaystyle \frac{P{L}^3}{3EI}}$, o resultado familiar da resistência dos materiais.

Distorção da Seção Transversal

Uma percepção fundamental da solução pela teoria da elasticidade é que os planos transversais, inicialmente planos e perpendiculares à linha neutra, não permanecem planos após a deformação quando as tensões de cisalhamento estão presentes. Esse comportamento contrasta com a hipótese da teoria de vigas de Euler–Bernoulli, que presume que “seções planas permanecem planas”. A figura abaixo ilustra a distorção resultante da seção transversal da extremidade.