Tração Uniaxial

Considere um problema bidimensional de tensão plana envolvendo uma longa viga retangular submetida a forças de tração uniformes $p$ em ambas as extremidades, conforme mostrado abaixo.

Este caso pode ser visto como uma aproximação de Saint-Venant de uma situação mais geral com carregamento não uniforme nas extremidades. Nesta interpretação, as trações distribuídas reais nas extremidades são substituídas por forças uniformes estaticamente equivalentes, e a solução resultante é válida em regiões suficientemente distantes das extremidades carregadas.

Condições de Contorno

As condições de contorno para este problema podem ser escritas como

$$({\sigma }_x{)}_{x=\pm L}=p,({\sigma }_y{)}_{y=\pm h}=0,({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h}=({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L}=0.$$

A Função de Tensão de Airy

Como as trações de contorno são constantes ao longo de cada borda, esperamos que o campo de tensão seja uniforme. Portanto, podemos assumir uma função de tensão de Airy de segunda ordem da forma

$$\varphi =a_{02}{y}^2.$$

A partir desta expressão, as componentes de tensão tornam-se

$${\sigma }_x=2a_{02},{\sigma }_y=0,{\tau }_{xy}=0.$$

Aplicando a condição de contorno ${\sigma }_x=p$ em $x=\pm l$ resulta

$$a_{02}=\frac{p}{2}.$$ e $$\varphi =\frac{p}{2}{y}^2.$$ Portanto, o campo de tensão completo é

$${\sigma }_x=p,{\sigma }_y={\tau }_{xy}=0.$$

Todas as condições de contorno são satisfeitas identicamente, e este campo uniforme representa um estado de tração uniaxial.

Campo de Deslocamento Associado

Em seguida, determinamos o campo de deslocamento correspondente a este estado de tensão uniforme.
Usando a lei de Hooke para tensão plana, as deformações são dadas por $${\epsilon }_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)=\frac{p}{E},{\epsilon }_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)=-\frac{\nu p}{E}.$$ $${\tau }_{xy}=0$$

Das relações deformação–deslocamento, $${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x},{\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y},$$ obtemos os gradientes de deslocamento: $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{p}{E},\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\nu p}{E}.$$

Integrando essas expressões com respeito às suas respectivas variáveis, obtemos $$u=\frac{p}{E}x+f(y),v=-\frac{\nu p}{E}y+g(x),$$

onde $f(y)$ e $g(x)$ são “constantes” de integração e serão determinadas a partir da relação de deformação cisalhante.

Determinação de f(y) e g(x)

Para tensão plana, a deformação cisalhante está relacionada aos deslocamentos por $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Como ${\tau }_{xy}=0$, a lei de Hooke fornece ${\gamma }_{xy}=0$ e, portanto, $$\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0.$$

Substituindo as expressões para u e v resulta

Como cada lado depende de uma variável diferente, ambos devem ser constantes:

Integrando, encontramos $$f(y)=-cy+u_0,g(x)=cx+v_0,$$

onde $c$ representa uma rotação de corpo rígido, e $u_0,v_0$ são translações rígidas nas direções $x$ e $y$, respectivamente.

Forma Final do Campo de Deslocamento

Substituindo essas expressões nos resultados anteriores, obtemos o campo de deslocamento completo: $$u=\frac{p}{E}x-cy+u_0,v=-\frac{\nu p}{E}y+cx+v_0.$$

As constantes $c,u_0,$ e $v_0$ correspondem ao movimento de corpo rígido e não contribuem para deformação ou tensão. Portanto, os deslocamentos físicos são determinados apenas a menos de uma translação e rotação de corpo rígido arbitrárias.

Para determinar $c,u_0$ e $v_0$, precisamos aplicar uma condição adicional. Por exemplo, podemos supor que o centro da viga não se move: $u(0,0)=v(0,0)=0$.