Tensão Plana

Tensão plana é uma simplificação na elasticidade usada para modelar corpos onde

1. uma dimensão (espessura) é muito menor que as outras duas, como placas finas ou cascas
2. forças atuam apenas nesse plano.

Seja o plano da estrutura o plano $xy$, e a direção da espessura o eixo $z$.

1. Hipóteses Fundamentais

A formulação de tensão plana consiste nas seguintes hipóteses centrais referentes ao estado de tensões:

1. As forças de tração nas superfícies (em $z=\pm h/2$) são nulas.
2. Como a placa é fina, supõe-se que não há espaço para desenvolver tensões internas significativas na direção $z$, nem tensões de cisalhamento associadas à face $z$.

Matematicamente, isso impõe: $${\sigma }_{zz}=0,{\sigma }_{xz}=0,{\sigma }_{yz}=0$$ Consequentemente, as componentes de tensão não nulas (${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$) são consideradas funções apenas de $x$ e $y$, e são uniformes ao longo da espessura.

2. A Inconsistência Matemática

Embora a simplificação de tensão plana seja altamente útil e precisa para componentes de engenharia finos, ela contém uma inconsistência teórica quando analisada rigorosamente através da teoria tridimensional completa da elasticidade. Essa inconsistência surge da relação entre tensão, deformação e compatibilidade de deslocamentos.

O Efeito de Poisson e a Deformação Fora do Plano

Embora a tensão fora do plano ${\sigma }_{zz}$ seja considerada nula, a deformação fora do plano ${ϵ}_{zz}$ não é nula devido ao efeito de Poisson. Usando a Lei de Hooke generalizada:

$${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

Como ${\sigma }_{zz}=0$, isso se reduz a: $${ϵ}_{zz}=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$

Como ${\sigma }_{xx}$ e ${\sigma }_{yy}$ variam com $x$ e $y$, ${ϵ}_{zz}$ também varia ao longo do plano da placa. Isso significa que a placa altera sua espessura de forma não uniforme.

O Conflito com a Compatibilidade

A partir das relações deformação-deslocamento, ${ϵ}_{zz}={\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}}$ (onde $w$ é o deslocamento na direção $z$). Integrando ${ϵ}_{zz}$ em relação a $z$ (assumindo simetria em relação ao plano médio $z=0$) obtém-se: $$w=-\frac{\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})z$$ Como $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ é uma função de $x$ e $y$, então $w$ é uma função de $x,y,$ e $z$. Consequentemente, as derivadas ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ e ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ são geralmente não nulas.

Agora observe as deformações de cisalhamento transversais, que devem ser nulas com base na hipótese de tensão (${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$): $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

Se ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}}$ e ${\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}}$ são não nulas, então para que essas deformações de cisalhamento permaneçam nulas, os deslocamentos no plano $u$ e $v$ devem depender de $z$.

Conclusão sobre a Inconsistência

A hipótese de que as tensões no plano são independentes de $z$ contradiz o requisito de compatibilidade de deformações. Um estado de tensão com ${\sigma }_{zz}={\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0$ em toda parte geralmente não é possível a menos que $({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$ seja constante ou linear em $x$ e $y$. Portanto, a tensão plana é considerada uma solução aproximada. Na realidade, as tensões assumidas são tratadas como valores médios ao longo da espessura da placa.

3. Equações e Incógnitas

Apesar da inconsistência teórica com relação à direção $z$, o problema de tensão plana 2D é matematicamente determinado. Focamos apenas nas variáveis do plano $xy$.

As Incógnitas (Total: 8)

Para resolver completamente o problema de campo 2D, precisamos determinar 8 variáveis de campo (todas funções de $x$ e $y$):

• Deslocamentos (2): $u(x,y),v(x,y)$
• Deformações (3): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$
• Tensões (3): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$

As Equações Governantes (Total: 8)

Para resolver essas 8 incógnitas, utilizamos 8 equações fundamentais da elasticidade (desprezando forças de corpo por simplicidade):

1. Equações de Equilíbrio (2): Derivadas da segunda lei de Newton (estática). $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Equações Cinemáticas (Deformação-Deslocamento) (3): Baseadas na geometria da deformação. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Equações Constitutivas (Lei de Hooke para Tensão Plana) (3): Relacionando tensão e deformação. Observe a modificação de $E$ devido à condição ${\sigma }_{zz}=0$. $${ϵ}_{xx}=\frac{1}{E}({\sigma }_{xx}-\nu {\sigma }_{yy})$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{1}{E}({\sigma }_{yy}-\nu {\sigma }_{xx})$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\sigma }_{xy}(\text{onde }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Como há 8 incógnitas e 8 equações independentes, o sistema é fechado e solucionável, desde que sejam aplicadas condições de contorno apropriadas.