O Método da Função de Tensão

Se os componentes de tensão podem ser expressos em termos de uma única função escalar ϕ(x,y), então os correspondentes componentes de deformação e deslocamento também podem ser escritos em termos da mesma função. Consequentemente, o número de incógnitas no problema de elasticidade bidimensional é reduzido a um. Esta abordagem, introduzida por George Biddell Airy em 1862, utiliza uma função ϕ(x,y) conhecida como função de tensão de Airy.

Definição e as Equações de Equilíbrio

A função de tensão de Airy, denotada por ϕ(x,y), é definida de modo que os componentes de tensão são derivados de suas segundas derivadas parciais:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
se não houver forças de corpo.

Justificativa para a Forma da Função de Tensão de Airy

Se tivermos um par de funções f(x, y) e g(x, y) relacionadas por

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y},

e se encontrarmos uma função escalar

U (x, y)

tal que

f = \frac{\partial U}{\partial y}, g = \frac{\partial U}{\partial x} .

como as derivadas parciais mistas de U são iguais (

\frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} U}{\partial y \partial x}

), então a relação acima é automaticamente satisfeita. Esta observação fornece uma analogia útil para formular problemas de elasticidade em termos de funções potenciais.

Para um problema bidimensional sem forças de corpo, as equações de equilíbrio são
$\frac{\partial σ_{x}}{\partial x} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial y} = 0, \frac{\partial σ_{y}}{\partial y} + \frac{\partial τ_{x y}}{\partial x} = 0.$
A partir da primeira, introduzimos uma função $A (x, y)$ tal que
$σ_{x} = \frac{\partial A}{\partial y}, τ_{x y} = - \frac{\partial A}{\partial x},$
e a partir da segunda equação, outra função $B (x, y)$ tal que
$σ_{y} = \frac{\partial B}{\partial x}, τ_{x y} = - \frac{\partial B}{\partial y} .$
Porque
$- τ_{x y} = \frac{\partial A}{\partial x} = \frac{\partial B}{\partial y},$
as funções A e B podem ser relacionadas através de outra função escalar ϕ(x, y) tal que
$A = \frac{\partial ϕ}{\partial y}, B = \frac{\partial ϕ}{\partial x} .$
Substituindo estas nas definições anteriores, obtém-se os componentes de tensão diretamente em termos de ϕ:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}, τ_{x y} = -, \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x, \partial y} .$

A função escalar $ϕ (x, y)$ , conhecida como função de tensão de Airy, gera, portanto, todos os componentes de tensão no plano através de suas segundas derivadas.

A genialidade desta definição é que as equações de equilíbrio são automaticamente satisfeitas para qualquer função

ϕ

que tenha segundas derivadas contínuas.

Substituindo estas definições na primeira equação de equilíbrio demonstra isso:

$\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}) + \frac{\partial}{\partial y} (- \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial x \partial y^{2}} - \frac{\partial^{3} ϕ}{\partial y \partial x \partial y} = 0$

A segunda equação de equilíbrio é satisfeita da mesma maneira. Esta é uma vantagem significativa: qualquer campo de tensão derivado de uma função de Airy é garantido estar em equilíbrio.

Compatibilidade, Leis Constitutivas e a Equação Biharmônica

Embora o equilíbrio seja satisfeito, o campo de deformação resultante também deve ser compatível, ou seja, deve corresponder a uma deformação física contínua. Este requisito físico é capturado pela equação de compatibilidade de deformações:

$\frac{\partial^{2} ϵ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} ϵ_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} γ_{x y}}{\partial x \partial y}$

Para prosseguir, devemos conectar as deformações às tensões usando a lei constitutiva do material. Para um material linear elástico e isotrópico, esta é a Lei de Hooke. Aqui, devemos distinguir entre dois tipos de análise bidimensional.

Derivação da Equação Biharmônica

Vamos derivar a equação governante para $ϕ$ usando o estado plano de tensão.¹ Começamos substituindo a Lei de Hooke na equação de compatibilidade de deformações:
$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{x} - ν σ_{y})] + \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} [\frac{1}{E} (σ_{y} - ν σ_{x})] = \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} [\frac{τ_{x y}}{G}]$
Multiplicando por $E$ e reorganizando os termos obtém-se:
$(\frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial x^{2}}) - ν (\frac{\partial^{2} σ_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} σ_{x}}{\partial x^{2}}) = \frac{E}{G} \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y} = 2 (1 + ν) \frac{\partial^{2} τ_{x y}}{\partial x \partial y}$
Agora, substitua as definições da função de tensão de Airy ( $σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}}$ , $σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}$ , $τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$ ):
$(\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}}) - ν (\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{2} \partial x^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}) = - 2 (1 + ν) \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Simplificando a expressão:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} - 2 ν \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Os termos envolvendo $ν$ em ambos os lados se cancelam, restando:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = - 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$
Reorganizando, obtém-se a célebre equação biharmônica:
$\frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{4}} + 2 \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + \frac{\partial^{4} ϕ}{\partial y^{4}} = 0$
Esta equação pode ser escrita de forma compacta como $\nabla^{4} ϕ = 0$ . Notavelmente, se a mesma derivação for realizada usando as leis constitutivas do estado plano de deformação, o resultado é exatamente a mesma equação biharmônica.

Incorporando Forças de Corpo

1. O Caso Específico da Gravidade

Considere um corpo onde seu próprio peso é a única força de corpo atuante. Com o eixo y apontando verticalmente para cima, as componentes da força de corpo são $B_{x} = 0$ e $B_{y} = - ρ g$ . Para satisfazer as equações de equilíbrio modificadas, ajustamos as definições de tensão:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + ρ g y, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + ρ g y, τ_{x y} = - \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x \partial y}$
Quando essas definições são usadas na derivação de compatibilidade, os termos adicionais $ρ g y$ se cancelam. A equação governante para $ϕ$ permanece a equação biharmônica homogênea, $\nabla^{4} ϕ = 0$ . O efeito da gravidade é simplesmente adicionado ao cálculo final da tensão após encontrar $ϕ$ .

2. O Caso Geral Usando uma Função Potencial

Qualquer campo de força de corpo conservativo pode ser descrito por uma função potencial $V (x, y)$ onde $B_{x} = - \frac{\partial V}{\partial x}$ e $B_{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}$ . As definições gerais de tensão se tornam:
$σ_{x} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} + V, σ_{y} = \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} + V$
Neste caso geral, a equação governante torna-se a equação biharmônica não homogênea:
$\nabla^{4} ϕ = - (1 - ν) \nabla^{2} V (para o estado plano de tensão)$
Para o estado plano de deformação, a constante principal é $- (1 - 2 ν)$ . Esta equação geral confirma nosso resultado para a gravidade, uma vez que para $V = ρ g y$ , o Laplaciano $\nabla^{2} V$ é zero.

O Método de Solução Polinomial

Uma estratégia versátil para resolver a equação biharmônica é assumir que a solução é um polinômio em $x$ e $y$ . Uma forma geral da solução é
$ϕ (x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{m n} x^{m} y^{n} .$

Grau 0 e 1 ( $m + n \leq 1$ ): Esses termos produzem tensão zero e podem ser ignorados.
Grau 2 e 3 ( $m + n = 2$ ou $3$): Qualquer polinômio de grau três ou menor automaticamente satisfaz a equação biharmônica porque todas as suas quartas derivadas são zero. Seus coeficientes são determinados pelas condições de contorno do problema. Um polinômio de segundo grau produz um estado de tensão constante, enquanto um polinômio de terceiro grau produz um campo de tensão que varia linearmente.
Grau 4 e superior ( $m + n \geq 4$ ): Para esses termos, os coeficientes não são mais independentes. Eles devem ser escolhidos para satisfazer a equação biharmônica. Por exemplo, para um termo $ϕ_{4} = a_{40} x^{4} + a_{22} x^{2} y^{2} + a_{04} y^{4}$ , os coeficientes devem satisfazer a restrição $3 a_{40} + a_{22} + 3 c_{04} = 0$ .

Exemplos

1. Tração Uniaxial
Para uma barra sob tensão de tração uniforme $σ_{x} = S$ , precisamos que $\frac{\partial^{2} ϕ}{\partial y^{2}} = S$ . Integrando duas vezes obtém-se:
$ϕ = \frac{S}{2} y^{2}$
Este polinômio de segundo grau automaticamente satisfaz $\nabla^{4} ϕ = 0$ .

Para mais detalhes, veja esta seção.

2. Flexão Pura de uma Viga
A tensão em uma viga sob flexão pura é $σ_{x} = - \frac{M y}{I}$ . Para obter essa tensão que varia linearmente, $ϕ$ deve ser uma função cúbica. Propomos $ϕ = C y^{3}$ . Isso dá $σ_{x} = 6 C y$ . Comparando com a fórmula conhecida, descobrimos que a constante é $C = - M / (6 I)$ , então a solução é:
$ϕ = - \frac{M}{6 I} y^{3}$