Flexão Pura

Agora aplicaremos o método da função de tensão de Airy a um dos problemas mais fundamentais da mecânica dos sólidos: determinar o estado de tensão em uma viga prismática submetida a um momento fletor puro. Embora a solução seja bem conhecida da mecânica dos materiais elementar, derivá-la através da teoria da elasticidade fornece uma validação mais rigorosa do resultado e destaca as hipóteses envolvidas.

Considere uma viga retangular reta de comprimento $L$, altura $h$ e largura $b$. Estabelecemos um sistema de coordenadas com o eixo x ao longo do eixo centroidal da viga e o eixo y na direção de sua altura. A viga ocupa a região definida por $-L/2\le x\le L/2$ e $-h/2\le y\le h/2$. A viga é submetida a um momento fletor puro, $M$, em ambas as extremidades.

Passo 1: Hipóteses e Condições de Contorno

Antes de buscar uma solução, é imperativo declarar nossas hipóteses iniciais e, em seguida, definir precisamente as condições que nosso campo de tensão deve satisfazer em todas as superfícies do corpo.

1. A Hipótese de Tensão Plana

Uma viga típica é uma estrutura longa em relação às suas dimensões transversais, e sua largura ($b$) é frequentemente comparável ou não dramaticamente maior que sua altura ($h$). Além disso, ela é carregada apenas no plano xy. Como a viga não é muito espessa na direção z (a largura) e não há forças aplicadas nas faces em $z=\pm b/2$, é fisicamente razoável supor que as componentes de tensão atuando na direção z são desprezíveis em todo o corpo. Portanto, assumimos: $${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$$ Esta é precisamente a definição de um estado de tensão plana. Esta hipótese nos permite usar o arcabouço bidimensional da elasticidade que desenvolvemos.

2. Formulação das Condições de Contorno

Agora podemos enunciar as condições nas fronteiras do nosso modelo 2D.

• Condições nas Superfícies Superior e Inferior ($y=\pm h/2$): As superfícies superior e inferior estão livres de quaisquer forças aplicadas. Isso significa que não pode haver tensão normal (sem pressão vertical) e nem tensão de cisalhamento (sem atrito horizontal) atuando nessas superfícies. $$({\sigma }_y{)}_{y=h/2}=0$$ $$({\tau }_{xy}{)}_{y=\pm h/2}=0$$
• Condições nas Extremidades ($x=\pm L/2$): A resultante da distribuição de tensão em cada extremidade deve ser equivalente a um momento puro, $M$. Isso implica três condições integrais distintas:
  • Força Axial Líquida Nula: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}bdy=0$$
  • Força de Cisalhamento Líquida Nula: $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\tau }_{xy}{)}_{x=\pm L/2}\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=0$$
  • Momento Fletor Líquido: Adotando a convenção de que um $M$ positivo causa tração para : $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x{)}_{x=\pm L/2}\cdot y\stackrel{dA}{\overbrace{bdy}}=-M$$

Passo 2: Proposição de uma Forma para a Função de Tensão de Airy

Com nossas condições especificadas, buscamos agora uma função de tensão de Airy $\varphi$ que satisfaça a equação bi-harmônica, ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$.

Vamos supor que ${\sigma }_y=0$ em todos os lugares, não apenas nas fronteiras. Mas por quê? Aqui está a linha de raciocínio:

1. Sabemos pelas condições de contorno que ${\sigma }_y=0$ nas superfícies superior e inferior ($y=\pm h/2$).
2. Não há forças de corpo (como a gravidade) atuando na direção y dentro da viga.
3. Não há mecanismo neste problema de flexão pura que sugeriria que uma tensão vertical deveria se desenvolver internamente.
4. Portanto, podemos propor que a solução mais simples possível que satisfaz as condições de contorno é aquela em que ${\sigma }_y$ e ${\tau }_{xy}$ são zero em todo lugar dentro da viga, não apenas nas superfícies.

Vamos testar esta hipótese. Se este estado de tensão simples puder ser feito para satisfazer todas as condições de contorno restantes, então pelo princípio da unicidade da solução na elasticidade, ele deve ser a solução correta.

Traduzindo esta hipótese em condições sobre $\varphi$:

• Se ${\sigma }_y={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}}=0$ em toda parte, então $\varphi$ pode, no máximo, ser uma função linear de $x$. Pode ser escrita como $\varphi (x,y)=xf(y)+g(y)$.
• Se ${\tau }_{xy}=-{\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}}=0$ em toda parte, então a derivada de nossa forma para $\varphi$ deve ser zero: $-\frac{\partial }{\partial y}(f(y))=0$. Isso implica que $f(y)$ deve ser uma constante.
• Combinando estes fatos, nossa função deve ter a forma $\varphi (x,y)=(\text{constante})\cdot x+g(y)$. No entanto, o problema de flexão é simétrico em relação a $x=0$, portanto esperamos que as tensões sejam independentes de $x$. Uma tensão constante vinda do termo em $x$ violaria a condição de momento. A forma mais simples possível que respeita a física é assumir que $\varphi$ é uma função apenas de $y$.

Portanto, propomos um polinômio em $y$ como nossa solução candidata: $$\varphi (y)=A{y}^3+B{y}^2+Cy+D$$ Este é um polinômio de terceiro grau, portanto satisfaz automaticamente a equação bi-harmônica ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$.

Passo 3: Aplicação das Condições de Contorno à Solução Proposta

Vamos encontrar as tensões a partir de nossa $\varphi$ proposta e ver se elas podem satisfazer todas as condições. $${\sigma }_x=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=6Ay+2B$$ $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=0$$ $${\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=0$$ Nossa hipótese satisfaz imediatamente as condições para ${\sigma }_y$ e ${\tau }_{xy}$ nas superfícies superior e inferior, e também satisfaz a condição de força de cisalhamento líquida nula nas extremidades. Agora verificamos as duas condições restantes nas extremidades para encontrar as constantes A e B.

Aplicando a Condição de Força Axial Nula: $${\int }_{-h/2}^{h/2}{\sigma }_x(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay+2B)bdy=b{[3A{y}^2+2By]}_{-h/2}^{h/2}=2Bbh=0$$ Como $b$ e $h$ são diferentes de zero, isso exige que B = 0.

Aplicando a Condição de Momento Fletor Líquido: Com B=0, nossa tensão normal agora é apenas ${\sigma }_x=6Ay$. $${\int }_{-h/2}^{h/2}({\sigma }_x\cdot y)(bdy)={\int }_{-h/2}^{h/2}(6Ay\cdot y)bdy=6Ab{\int }_{-h/2}^{h/2}{y}^{2}dy=-M$$ $$6Ab{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}=2Ab((h/2{)}^3-(-h/2{)}^3)=\frac{Ab{h}^3}{2}=-M$$ Agora podemos resolver para a constante A: $$A=-\frac{2M}{b{h}^3}$$ Lembrando que o momento de inércia para uma seção transversal retangular é $I={\displaystyle \frac{b{h}^3}{12}}$, podemos escrever A em termos de I: $$A=-\frac{2M}{12I}=-\frac{M}{6I}$$

Passo 4: A Solução Final e Verificação

Encontramos com sucesso todos os coeficientes com base em nossa hipótese inicial. A função de tensão de Airy para flexão pura é: $$\varphi (y)=-\frac{M}{6I}{y}^3$$ A partir desta função, derivamos as componentes finais de tensão: $${\sigma }_x=-\frac{M}{I}y$$ $${\sigma }_y=0$$ $${\tau }_{xy}=0$$ Esta solução, derivada a partir de nossa suposição fundamentada de que ${\sigma }_y$ e ${\tau }_{xy}$ eram zero em toda parte, satisfaz com sucesso todas as condições de contorno do problema. Isso justifica nossa hipótese inicial e fornece a fórmula clássica da flexão, rigorosamente derivada da teoria da elasticidade.

Passo 3: Dedução do Campo de Deslocamentos ($u$, $v$)

Para encontrar os deslocamentos, devemos integrar as relações deformação-deslocamento, usando as deformações determinadas a partir do nosso campo de tensão através da Lei de Hooke para tensão plana.

1. Encontre as Deformações: $${ϵ}_{xx}=\frac{{\sigma }_{xx}}{E}=-\frac{My}{EI}$$ $${ϵ}_{yy}=-\frac{\nu {\sigma }_{xx}}{E}=\frac{\nu My}{EI}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{G}=0$$

2. Integre as Relações Deformação-Deslocamento: Começamos com ${ϵ}_{xx}={\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$. Integrando em relação a $x$ obtemos: $$u(x,y)=\int -\frac{My}{EI}dx=-\frac{Mxy}{EI}+f(y)$$ onde $f(y)$ é uma função arbitrária de $y$ que atua como uma “constante” de integração.

Em seguida, de ${ϵ}_{yy}={\displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}}$: $$v(x,y)=\int \frac{\nu My}{EI}dy=\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x)$$ onde $g(x)$ é uma função arbitrária de $x$.

3. Use a Deformação de Cisalhamento para Acoplar as Equações: Usamos a relação final, ${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0$, para encontrar as funções desconhecidas $f(y)$ e $g(x)$. $$\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{Mxy}{EI}+f(y))+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\nu M{y}^2}{2EI}+g(x))=0$$ Rearranjando esta equação para separar variáveis: O lado esquerdo é uma função apenas de $x$, enquanto o lado direito é uma função apenas de $y$. A única maneira de essa igualdade ser válida para todos $x$ e $y$ é se ambos os lados forem iguais à mesma constante, digamos $C_1$.

4. Monte e Restrinja o Movimento de Corpo Rígido: Substituindo de volta, o campo de deslocamentos geral é: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}-C_{1}y+C_3$$ $$v(x,y)=-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}-\frac{M{x}^2}{2EI}+C_{1}x+C_2$$ As constantes $C_1,C_2,C_3$ representam movimento de corpo rígido. Para encontrá-las, devemos fixar a viga no espaço. Vamos impor que a origem ($x=0,y=0$) não se translade e que a inclinação do eixo neutro seja zero na origem. * $u(0,0)=0⟹C_3=0$ * $v(0,0)=0⟹C_2=0$ * ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}}{|}_{x=0,y=0}={[-{\displaystyle \frac{Mx}{EI}}+C_1]}_{x=0}=C_1=0$

As três constantes são zero. O campo de deslocamentos final é: $$u(x,y)=\frac{Mxy}{EI}$$ $$v(x,y)=-\frac{M{x}^2}{2EI}-\frac{\nu M{y}^2}{2EI}$$