Bending of a Beam by Uniform Transverse Loading

Considere uma viga simplesmente apoiada de comprimento $L$, altura $h$ e largura $b$. A viga está sob um carregamento transversal uniforme de intensidade (força por unidade de comprimento) $w$. A intensidade da força (força por unidade de área) é $q={\displaystyle \frac{w}{b}}$.

Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas no centro da viga. O eixo x corre ao longo da linha neutra através do comprimento da viga, e o eixo y corre verticalmente. As superfícies superior e inferior estão em $y=\pm h/2$.

As condições de contorno nas bordas superior e inferior da viga são: As condições nas extremidades $x=\pm L/2$ especificam as forças resultantes. A força cortante total deve ser igual à reação de apoio ($V=\pm wL/2$): Não há força normal líquida nas extremidades: E, como a viga é simplesmente apoiada, não há momento fletor nas extremidades:

Da teoria elementar da resistência dos materiais, sabemos que ${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}$. Como o momento fletor $M(x)$ para este carregamento é quadrático em $x$, esperamos que ${\sigma }_x$ contenha um termo proporcional a $x^{2}y$. Como ${\sigma }_x={\displaystyle \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}}$, isso sugere que $\varphi$ deve conter um termo da forma: $$c_1{x}^2{y}^3$$ Somente este termo daria as componentes de tensão $${\sigma }_y=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=2c_1{y}^3\text{e}{\tau }_{xy}=-\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=-6c_{1}x{y}^2.$$ Essas expressões não satisfazem as condições de contorno (i) por si sós.

Para satisfazer as condições ${\sigma }_y{|}_{y=-h/2}=0$ e ${\sigma }_y{|}_{y=h/2}=-q$, precisamos adicionar termos da forma $\alpha y+b$ a ${\sigma }_y$. Isso requer que $\varphi$ contenha termos da forma $$c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2.$$

Vamos tentar uma função de tensão da forma: $$\varphi =c_1{x}^2{y}^3+c_2{x}^{2}y+c_3{x}^2$$ Impondo as condições de contorno (i) para ${\sigma }_y$ e ${\tau }_{xy}$ (o que também requer termos dessa forma de $\varphi$) obtemos: $$c_1=\frac{q}{h^3},c_2=-\frac{3q}{4h},c_3=-\frac{q}{4}$$ e portanto $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2$$ No entanto, esta função não satisfaz a equação biharmônica ${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =0$. De fato: $${\mathrm{\nabla }}^4\varphi =\frac{{\partial }^4\varphi }{\partial y^4}\left(\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3\right)=\frac{24q}{h^3}y$$ Para tornar a função de tensão biharmônica, devemos adicionar um termo que cancele este resultado. Um termo da forma $c_4{y}^5$ funcionará. Substituindo $\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2+c_4{y}^5$ na equação biharmônica, obtemos: $$\frac{24q}{h^3}y+\frac{{\partial }^4}{\partial y^4}(c_4{y}^5)=\frac{24q}{h^3}y+120c_{4}y=0$$ Portanto, devemos ter: $$c_4=-\frac{24q}{120h^3}=-\frac{q}{5h^3}$$ A função de tensão de Airy melhorada é: $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5$$ Esta função de tensão fornece as seguintes componentes de tensão: Essas componentes de tensão satisfazem as condições (i), (ii) e (iii). No entanto, a condição (iv) (momento nulo nas extremidades) é violada. O momento em $x=\pm L/2$ é: Para cancelar este momento indesejado, devemos adicionar um termo de correção a $\varphi$ que produza um momento igual e oposto. Um termo da forma $c_5{y}^3$ representa um estado de flexão pura. Adicionando ${\varphi }_{corr}=c_5{y}^3$, obtemos ${\sigma }_{x,corr}=6c_{5}y$. O momento produzido é $M_{corr}={\int }_{-h/2}^{h/2}by(6c_{5}y)dy=\frac{b{c}_5{h}^3}{2}$. Fazendo $M+M_{corr}=0$, temos: $$c_5=-\frac{2}{b{h}^3}\left[bq(\frac{L^2}{8}-\frac{h^2}{20})\right]=\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})$$ Finalmente, nossa função de tensão de Airy completa é: $$\varphi =\frac{q}{h^3}{x}^2{y}^3-\frac{3q}{4h}{x}^{2}y-\frac{q}{4}{x}^2-\frac{q}{5h^3}{y}^5+\frac{q}{h^3}(\frac{h^2}{10}-\frac{L^2}{4})y^3$$ Note que o termo $y^3$ adicionado satisfaz automaticamente a equação biharmônica e não contribui para ${\sigma }_y$ ou ${\tau }_{xy}$, portanto as condições (i), (ii) e (iii) permanecem satisfeitas.

As componentes finais de tensão são: Substituindo $q$ por $w/b$ e observando que o momento de inércia é $I=\frac{1}{12}b{h}^3$, a expressão para ${\sigma }_x$ pode ser reescrita. O momento fletor da teoria elementar é $$M(x)=\frac{w}{2}(\frac{L^2}{4}-x^2).$$ E $${\sigma }_x=-\frac{M(x)y}{I}+\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y).$$ O primeiro termo é exatamente o resultado da teoria elementar de viga de Euler-Bernoulli. O segundo termo é a correção fornecida pela teoria da elasticidade. Este termo de correção não depende de $x$ e é pequeno se a viga for esbelta (isto é, sua altura $h$ for pequena comparada ao seu vão $L$).

A solução é exata se, nas extremidades $x=\pm L/2$, as forças normais ${\sigma }_x$ forem distribuídas de acordo com a lei dada pelo termo de correção: $${\sigma }_x{|}_{x=\pm L/2}=\frac{w}{2I}(-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{20}{h}^{2}y)$$ Essas forças não têm força líquida equivalente nem momento líquido equivalente. Portanto, de acordo com o princípio de Saint-Venant, a distribuição real de ${\sigma }_x$ estará muito próxima desta solução a distâncias das extremidades maiores que a altura da viga, independentemente de como os apoios são realmente realizados.

A diferença entre os resultados da resistência dos materiais e da elasticidade surge do fato de que a teoria elementar assume que as fibras longitudinais estão sob tração ou compressão puras (${\sigma }_y=0$). No entanto, a solução da teoria da elasticidade mostra que existem tensões de compressão entre as fibras.

A fórmula para ${\tau }_{xy}$ coincide com a obtida pela fórmula da resistência dos materiais ${\tau }_{xy}=\frac{VQ}{Ib}$.