Deformação Plana

Hipóteses, Rigidez e Equações Governantes

Na mecânica dos sólidos, outra redução para 2D é a deformação plana. É usada para modelar corpos que são muito longos em uma direção (direção axial) em comparação com as outras duas dimensões, com cargas e geometria que não variam ao longo desse eixo longo. Um exemplo típico é uma barragem longa, um túnel ou um muro de contenção sob carregamento uniforme.

Seja a seção transversal da estrutura o plano $xy$ e a direção longa (axial) seja o eixo $z$.

1. Formulação Clássica da Deformação Plana

Hipóteses Primárias: A hipótese central da deformação plana é cinemática (relacionada à deformação). Para um corpo muito longo com extremidades restringidas e carregado uniformemente ao longo do seu comprimento, assume-se que cada seção transversal se deforma de forma idêntica e que não há deslocamento na direção axial longa.

Matematicamente, isso impõe: $$w(x,y,z)=0$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ Os deslocamentos no plano, u e v, são funções apenas de x e y.

A partir dessas hipóteses cinemáticas, três componentes de deformação são imediatamente nulas: $${ϵ}_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0$$ $${\gamma }_{xz}=\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}=0$$ $${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}=0$$

A Tensão Axial (σ_zz): Uma consequência crucial da condição de deformação plana é que, embora a deformação axial (${ϵ}_{zz}$) seja zero, a tensão axial (${\sigma }_{zz}$) não é zero. A tendência do material de se contrair ou expandir na direção z devido ao efeito de Poisson das tensões no plano é fisicamente restringida. Essa restrição gera uma tensão de reação, ${\sigma }_{zz}$.

A partir da Lei de Hooke generalizada para ${ϵ}_{zz}$: $${ϵ}_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{zz}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]=0$$ Resolvendo para ${\sigma }_{zz}$ obtém-se: $${\sigma }_{zz}=\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})$$ Isso mostra que uma tensão axial se desenvolve para impor a condição de deformação axial nula.

Consistência Matemática: Ao contrário do estado plano de tensão, a formulação clássica da deformação plana é cinematicamente consistente. As hipóteses sobre o deslocamento levam diretamente ao estado de deformação definido sem criar contradições internas com as equações da elasticidade 3D. A formulação não é uma aproximação da mesma forma que o estado plano de tensão; em vez disso, representa uma solução exata para uma situação física idealizada (um corpo infinitamente longo).

2. Deformação Plana Generalizada

Embora a deformação plana clássica seja matematicamente consistente, sua hipótese de w = 0 (e, portanto, ε_zz = 0) é altamente restritiva. Ela não pode, por exemplo, modelar um cilindro longo com extremidades livres sujeito a uma variação uniforme de temperatura, pois o corpo precisaria se expandir ou contrair ao longo do eixo z.

A deformação plana generalizada é uma extensão que relaxa essa restrição estrita. Ela permite uma extensão axial uniforme e/ou flexão do corpo. A forma mais simples assume que a deformação axial é uma constante: $${ϵ}_{zz}={ϵ}_0(\text{uma constante})$$ Isso corresponde a um campo de deslocamentos onde u e v ainda são funções apenas de x e y, mas o deslocamento axial w pode ser uma função linear de z. Essa formulação pode lidar com problemas envolvendo forças axiais resultantes ou expansão térmica uniforme, mantendo as equações governantes do problema em duas dimensões.

3. Resumo das Equações e Incógnitas (Caso Clássico)

Para o problema clássico de deformação plana (${ϵ}_{zz}=0$), o sistema é matematicamente determinado.

As Incógnitas (Total: 8): * Deslocamentos (2): $u(x,y),v(x,y)$ * Deformações (3): ${ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{\gamma }_{xy}$ * Tensões (3): ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\sigma }_{xy}$ (Nota: ${\sigma }_{zz}$ também é uma incógnita, mas é determinada diretamente por ${\sigma }_{xx}$ e ${\sigma }_{yy}$, portanto não é uma incógnita independente na solução 2D).

As Equações Governantes (Total: 8):

1. Equações de Equilíbrio (2): Idênticas ao estado plano de tensão. $$\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial {\sigma }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}=0$$
2. Equações Cinemáticas (Deformação-Deslocamento) (3): Idênticas ao estado plano de tensão. $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}$$ $${ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}$$ $${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$$
3. Equações Constitutivas (Lei de Hooke para Deformação Plana) (3): Essas relações são diferentes do estado plano de tensão porque incorporam o efeito da ${\sigma }_{zz}$ não nula. Elas são frequentemente escritas usando constantes elásticas efetivas. As relações tensão-deformação são: $${\sigma }_{xx}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{xx}+\nu {ϵ}_{yy}]$$ $${\sigma }_{yy}=\frac{E}{(1+\nu )(1-2\nu )}[(1-\nu ){ϵ}_{yy}+\nu {ϵ}_{xx}]$$ $${\sigma }_{xy}=G{\gamma }_{xy}(\text{onde }G=\frac{E}{2(1+\nu )})$$

Com 8 incógnitas e 8 equações independentes, o sistema é fechado e solucionável, fornecendo uma descrição completa do estado 2D de tensão e deformação na seção transversal.

Estado Plano de Tensão vs. Deformação Plana

1. Estado Plano de Tensão: Esta condição é assumida para corpos finos, como placas carregadas em seu plano. A hipótese chave é que a componente de tensão perpendicular à placa é zero em toda a sua espessura: ${\sigma }_z={\tau }_{xz}={\tau }_{yz}=0$. As relações tensão-deformação são: $${ϵ}_x=\frac{1}{E}({\sigma }_x-\nu {\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$
2. Deformação Plana: Esta condição se aplica a corpos muito longos ou espessos onde a geometria e o carregamento não variam ao longo do comprimento. Assume-se que a deformação na direção longa é zero: ${ϵ}_z={\gamma }_{xz}={\gamma }_{yz}=0$. Essa restrição significa que uma tensão ${\sigma }_z$ pode se desenvolver. Como $${ϵ}_z=0=\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_x-\nu {\sigma }_y)$$ obtemos$${\sigma }_z=\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)$$Assim, as relações tensão-deformação no plano se tornam: $${ϵ}_x=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_x-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_y),{ϵ}_y=\frac{1-{\nu }^2}{E}({\sigma }_y-\frac{\nu }{1-\nu }{\sigma }_x),$$$${\gamma }_{xy}=\frac{1}{G}{\tau }_{xy}$$ onde $G={\displaystyle \frac{E}{2(1+\nu )}}$ é o módulo de cisalhamento.

Podemos escrever ambos os casos como onde e são o módulo de Young efetivo e o coeficiente de Poisson efetivo dados pela tabela a seguir.