Transformation of Strain

Lembre-se de que 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) . ou 𝝐 = 1 2 ( [ u 1 u 2 u 3 ] [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] + [ ∂ ∂ x 1 ∂ ∂ x 2 ∂ ∂ x 3 ] [ u 1 u 2 u 3 ] )

Para expressar as componentes da deformação em um novo sistema de coordenadas, devemos expressar tanto o deslocamento 𝐮 quanto ∇ no novo sistema de coordenadas. Isto é,

Portanto, para expressar em termos das componentes da deformação no sistema de coordenadas antigo, devemos:

  • expressar as componentes do deslocamento no novo sistema de coordenadas em termos das componentes do deslocamento no sistema de coordenadas antigo
  • expressar a diferenciação com relação a um novo eixo coordenado em termos da diferenciação com relação às coordenadas antigas.

Transformação do Deslocamento

O deslocamento é uma grandeza vetorial. Portanto, suas componentes em um novo sistema de coordenadas seguem a transformação de vetores: ou

onde é a k-ésima componente do i-ésimo vetor unitário para o novo sistema de coordenadas:

Transformação das Derivadas

Da regra da cadeia, segue-se que

A taxa de variação de uma coordenada antiga em relação a uma coordenada nova é o cosseno do ângulo entre elas:

Portanto,

Podemos escrever (6) como

e para todas as novas coordenadas:

Gradiente nas Novas Coordenadas

Combinando (1) e (6), obtemos Alternativamente, usando notação matricial e (2) e (7), podemos escrever

Lei de Transformação para o Tensor de Deformação

Como 𝝐 = 1 2 ( 𝐮 ∇ + ( 𝐮 ∇ ) T ) , concluímos que Essa é a mesma fórmula de transformação para a tensão:

Caso Especial: Transformação 2D

Em 2D, L = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ]

Portanto,

Isso mostra que, para transformar as componentes da deformação em um problema 2D, podemos usar o círculo de Mohr, exatamente como com a tensão.

Exemplo: O campo de deslocamento de um corpo sob tensão é especificado por
u = 10 − 3 ( x + y ) 2  m , v = 10 − 3 ( y − z ) 2  m , w = − 10 − 3 x z  m

  1. Encontre o tensor de deformação no ponto P ( 0 , 1 , − 2 ) .
  2. Calcule a variação do ângulo reto entre
    𝐚 ^ = 1 9 ( 8 𝐢 ^ − 𝐣 ^ + 4 𝐤 ^ ) , 𝐛 ^ = 1 9 ( 4 𝐢 ^ + 4 𝐣 ^ − 7 𝐤 ^ )
Solução

(a) O tensor gradiente de deslocamento é

Avaliando em P ( 0 , 1 , − 2 ) :

∇ 𝐮 = 10 − 3 [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ]

O tensor de deformação é dado por 𝜺 = 1 2 ( ∇ 𝐮 + ( ∇ 𝐮 ) T ) 𝜺 = 10 − 3 2 ( [ 2 2 0 0 6 − 6 2 0 0 ] + [ 2 0 2 2 6 0 0 − 6 0 ] )

𝜺 = 10 − 3 [ 2 1 0 1 6 − 3 1 − 3 0 ]

(b) Consideramos , . Ambos são vetores unitários.

A variação no ângulo está relacionada à deformação por cisalhamento de engenharia:

Para calcular , rotacionamos 𝝐 para a base , onde

A matriz de transformação é

O tensor de deformação nesta base rotacionada é

Portanto,

Δ θ = 2 × 0.9877 × 10 − 3 = 1.9753 × 10 − 3