Compatibility Equations

Compatibilidade das Componentes de Deformação

Anteriormente, provamos que o tensor de tensão não pode variar arbitrariamente dentro de uma região. De fato, sua variação é restringida pelas leis de Newton. Agora a pergunta é: As componentes de deformação podem variar arbitrariamente? A resposta é não. Existem algumas restrições sobre como a deformação pode variar dentro de um corpo. Essas restrições são conhecidas como equações de compatibilidade.

Para pequenas deformações, as componentes de deformação estão relacionadas ao campo de deslocamento $𝐮$ por $${ϵ}_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}).$$ Quando o campo de deslocamento $𝐮$ é conhecido, as componentes de deformação podem ser facilmente calculadas a partir da equação acima. No entanto, o problema inverso de determinar o campo de deslocamento correspondente a um campo de deformação dado é muito mais complexo.

Existem seis componentes de deformação independentes $({ϵ}_{xx},{ϵ}_{yy},{ϵ}_{zz}$ , ${ϵ}_{yz}$, ${ϵ}_{xz}$, ${ϵ}_{xy}$) e apenas três componentes de deslocamento. Isso significa que há seis equações para três funções incógnitas $u_x,u_y,u_z$. Portanto, não esperamos que o sistema de equações tenha soluções unívocas se as funções ${ϵ}_{ij}$ forem escolhidas arbitrariamente.

Equações de Compatibilidade

Para garantir que um conjunto de componentes de deformação corresponda a um campo de deslocamento fisicamente possível, certas condições de compatibilidade devem ser satisfeitas. Essas condições são derivadas eliminando as componentes de deslocamento $u,v,w$ das relações deformação–deslocamento.

A partir das definições das componentes de deformação, temos: $${ϵ}_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},{ϵ}_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},2{ϵ}_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}.$$ Tomando as derivadas segundas apropriadas, encontramos: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y^2},\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y\partial x^2},2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^2\partial y}+\frac{{\partial }^{3}v}{\partial y^2\partial x}.$$

Combinando essas relações e reconhecendo que as derivadas parciais mistas são iguais, obtemos: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}.}$$

Esta é uma das equações de compatibilidade que as componentes de deformação devem satisfazer para que exista um campo de deslocamento contínuo e unívoco.

Relações Adicionais

Permutando ciclicamente as coordenadas $x,y,z$, duas relações adicionais do mesmo tipo podem ser deduzidas.

Diferenciando as relações tridimensionais deformação–deslocamento, obtemos expressões como: $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x\partial y\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial z}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z},2\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial z}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y\partial x},$$ e relações semelhantes para as outras componentes.

Combinando essas expressões e eliminando $u,v,w$, obtemos: $$\boxed{\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{xz}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}).}$$

Pela permutação cíclica de $x,y,z$, obtemos mais três dessas relações, totalizando seis equações de compatibilidade em três dimensões.

$$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial x^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial y^2},$$ $$2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}=\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial z^2}.$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xx}}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yy}}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}),$$ $$\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zz}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z}+\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}),$$

Para uma região simplesmente conexa¹ (ou seja, um corpo material sem buracos ou descontinuidades), as equações de compatibilidade são necessárias e suficientes para garantir que o campo de deslocamento exista e seja unívoco.

Se a região for multiplamente conexa (por exemplo, contendo buracos ou vazios), condições adicionais devem ser aplicadas para garantir a compatibilidade em todo o corpo (veja a referência a seguir).

É importante notar que essas equações não são necessárias quando as componentes de deslocamento $u,v,w$ são tratadas como as incógnitas primárias—uma vez que elas satisfazem automaticamente as relações deformação–deslocamento. No entanto, quando se trabalha diretamente com as componentes de deformação como incógnitas, as equações de compatibilidade devem ser impostas para garantir que o campo de deformação resultante corresponda a uma deformação válida.

Como as componentes de deformação descrevem as posições relativas dos pontos dentro de um corpo e o movimento de corpo rígido não produz deformação, as componentes de deslocamento podem ser determinadas apenas a menos de um movimento de corpo rígido arbitrário. Em outras palavras, mesmo que as componentes de deformação satisfaçam as equações de compatibilidade, o campo de deslocamento não é determinado de forma única.

Referência

Fung, Y. C. (1965). Fundamentos da mecânica do contínuo. Prentice-Hall.