Indução Matemática

O princípio da indução que mencionamos anteriormente é uma afirmação sobre os inteiros positivos. Ele diz o seguinte:

Princípio da Indução. Seja $P (n)$ uma asserção sobre o inteiro positivo $n$ . Suponha que:

(a) A asserção $P (1)$ é verdadeira;

(b) Se a asserção $P (k)$ é verdadeira para um dado inteiro $k$ , então a asserção $P (k + 1)$ também é verdadeira.

Então a asserção $P (n)$ é verdadeira para todo $n$ .

Se pensarmos um pouco sobre isso, devemos ver que ele está inteiramente de acordo com a nossa intuição. Há vários modelos para nos ajudar a visualizar o princípio. Em um desses modelos, consideramos um sistema de dominós em pé, alinhados de modo que, se qualquer um deles tombar em direção ao próximo, ele o derrubará na direção do seguinte. Este é o análogo da hipótese (b). O análogo de (a) é simplesmente que podemos derrubar o primeiro. Mas então ele derrubará o segundo, que atingirá o terceiro, ... . Escrevendo passos suficientes dessa forma, poderíamos chegar a qualquer dominó especificado, ou à asserção $P (n)$ para qualquer $n$ prescrito. Entretanto, agora vimos que as hipóteses (a) e (b) são o essencial deste processo, e que podemos economizar toda essa escrita simplesmente mostrando que elas são válidas.

Como exemplo, vamos dar uma prova por indução de uma fórmula para a soma de uma progressão aritmética familiar:

1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2} .

Então $P (n)$ é a afirmação de que a soma dos primeiros $n$ inteiros é igual a $\frac{n (n + 1)}{2}$ . $P (1)$ diz, portanto, que a soma do primeiro inteiro, ou seja, 1, é igual a $\frac{1 (1 + 1)}{2} = 1$ . Portanto, a hipótese (a) está satisfeita. Agora, a hipótese (b) começa com, "Se $P (k)$ é verdadeira,". Isso significa que devemos supor que $P (k)$ é verdadeira, e ver se a verdade de $P (k + 1)$ é uma consequência dessa suposição. Assim, começamos supondo

P (k) : 1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} .

Então devemos considerar a soma

1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = (1 + 2 + \dots + k) + (k + 1) .

Mas, pelo que estamos assumindo,

1 + 2 + \dots + k = \frac{k (k + 1)}{2} = (k + 1) \cdot \frac{k}{2} .

Portanto

1 + 2 + \dots + k + (k + 1) = (k + 1) (\frac{k}{2} + 1) = (k + 1) (\frac{k + 2}{2}),

1 + 2 + \dots + (k + 1) = \frac{(k + 1) ((k + 1) + 1)}{2},

que é $P (k + 1)$ . Assim, (a) e (b) estão satisfeitas, e $P (n)$ vale para todo $n$ por indução.

Exercícios

Exercício 1.

Prove que $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Exercício 2.

Prove que (f_1 + f_2 + \dots + f_n)' = f_1' + f_2' + \dots + f_n' .

Exercício 3.

Prove que (f_1 f_2 \dots f_n)' = f_1' f_2 \dots f_n + f_1 f_2' f_3 \dots f_n + \dots + f_1 \dots f_{n-1} f_n' .

Exercício 4.

Mostre que a hipótese (b) está satisfeita para $P (n) : n = n + 2,$ que é obviamente falsa.

Exercício 5.

Dê um exemplo de um $P (n)$ que seja falso para $n > 1$ mas para o qual a hipótese (a) vale.

Exercício 6.

Prove que $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}, n = 1, 2, 3, \dots .$

Exercício 7.

Prove que
$(1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{9}) (1 - \frac{1}{16}) \dots (1 - n^{- 2}) = \frac{n + 1}{2 n}$

para $n = 2, 3, 4, \dots .$

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