Curvas em Forma Paramétrica. Fundamentos da Mecânica

A ilustração abaixo é um exemplo de algo que costumamos chamar de curva, mas que não pode ser descrito como o gráfico de uma função; pois há pontos onde vários valores de $y$ correspondem a um único valor de $x$.

Então, como podemos definir uma curva de modo a abranger este caso? Quando desenhamos a curva, começamos com o lápis em algum ponto e o movemos. Após $t$ segundos, o lápis estava em um novo ponto $(x(t),y(t))$ da curva, e qualquer ponto da curva poderia ser alcançado após algum tempo (talvez incluindo uma viagem para trás no tempo). Agora, $x(t)$ é uma função de $t$, ou seja, "a coordenada $x$ do lápis no instante $t$", e da mesma forma $y(t)$ é uma função de $t$. O fato de que desenhamos a curva em um movimento contínuo é expresso dizendo que $x(t)$ e $y(t)$ são funções contínuas. Assim, somos levados a fazer a seguinte definição:

O gráfico de uma função é um caso especial; a curva descrita pelo gráfico de $y=f(x)$ pode ser escrita nessa "forma paramétrica" usando $x$ como a variável $t$. Então a curva é $(t,f(t))$. Para um dado $t$, podemos considerar

$$X(t)=(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))$$

tanto como um ponto no espaço de dimensão $n$ quanto como um vetor. Assim, é possível realizar operações vetoriais com essa quantidade. Em muitas de nossas referências a uma curva, consideraremos $t$ como o tempo. Por exemplo, definimos a velocidade no instante $t$ de um ponto sobre a curva como

X'(t) = (x_1'(t), x_2'(t), \dots, x_n'(t))

se ela existir. Definimos a aceleração no instante $t$ como

X''(t) = (x_1''(t), x_2''(t), \dots, x_n''(t))

se ela existir.

Como não conseguimos realmente obter uma noção intuitiva adequada de aceleração, podemos considerar que nossa definição de aceleração não requer justificativa. A definição de velocidade é um caso limite de uma "velocidade média", como se segue:

No instante $t$, seja $X(t)$ o ponto correspondente da curva; no instante $t+h$, o ponto é então $X(t+h)$. Se conhecêssemos apenas esses dois pontos, o tipo mais simples de movimento a assumir entre eles é o movimento retilíneo a uma taxa constante. Isso significa que o vetor $X(t+h)-X(t)$ é percorrido no tempo $h$ a uma taxa constante. Essa taxa, juntamente com sua direção, é então dada por

$$\frac{X(t+h)-X(t)}{h}=(\frac{x_1(t+h)-x_1(t)}{h},\dots ,\frac{x_n(t+h)-x_n(t)}{h})\cdot$$

A velocidade no instante $t$ é então o limite dessa velocidade média quando o tempo $h$ sobre o qual a média é tomada tende a zero, e o resultado é simplesmente X'(t).

Usamos a velocidade para nos dar uma definição da tangente à curva: a reta tangente a $X(t)$ em $t=t_0$ é a reta que passa por $X(t_0)$ e é paralela ao vetor velocidade em $t_0$, ou seja, X'(t_0). Assim, é o conjunto de pontos

X(t_0) + s X'(t_0),

onde $s$ varia por todos os números.

Com os conceitos que agora desenvolvemos, podemos formular as noções básicas da mecânica de Newton e derivar com bastante facilidade uma série de consequências importantes. Para começar, temos certos conceitos que chamaremos de noções primárias; eles são formulações matemáticas de quantidades observáveis na natureza. São eles:

Essas noções estão sujeitas a certas leis fundamentais, que são realmente as de Newton. A primeira é simples:

I. F = m X''(t), ou em palavras:
A força que atua sobre uma partícula em $X(t)$ é o produto de sua massa pela sua aceleração.

As outras leis requerem um pouco mais de explicação. Um sistema mecânico é uma coleção de partículas com posições $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_N$, cada uma dependendo do tempo, e tendo respectivamente as massas $m_1$, $m_2$, $\dots$, $m_N$. Seja $F_i$ a força que atua sobre a $i$-ésima partícula. Então, por I, F_i=m_i X_i^{\prime\prime}. $F_i$ é composta por uma força externa ${\overline{F}}_i$, vinda de fora do sistema, e outras "forças internas" $F_{ij}$, onde $F_{ij}$ é a força exercida pela $j$-ésima partícula sobre a $i$-ésima. Assim,

$$F_i={\overline{F}}_i+F_{i1}+F_{i2}+\cdots +F_{iN},$$

o que escrevemos de forma mais breve como

$$F_i={\overline{F}}_i+\sum _{j=1}^N{F}_{ij}\cdot$$

As outras leis dizem respeito às $F_{ij}$:

II. $F_{ij}=-F_{ji}$ ("a ação é igual à reação"; em particular, $F_{ii}=0$).

III. $F_{ij}$ é paralela a $X_i-X_j$, ou seja, a força exercida por uma partícula sobre outra age ao longo da reta que as une.

Consideremos por um momento o caso em que todas as forças externas ${\overline{F}}_i$ são nulas (um sistema fechado). Então

m_i X_i'' = F_i = \sum_{j=1}^N F_{ij} \cdot

Se somarmos as forças que atuam sobre todas as partículas, vemos que

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N F_{ij} \cdot

Agora, todos os $F_{ii}=0$, e se $i\ne j$, cada um de $F_{ij}$ e $F_{ji}$ ocorre exatamente uma vez na soma dupla à direita. Como $F_{ij}=-F_{ji}$, sua soma é $0$, e portanto toda a soma dupla é zero.
Assim,

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = 0 \cdot

Como (m_i X_i')' = m_i X_i'', temos

\left( \sum_{i=1}^N m_i X_i' \right)' = 0,

ou seja

o momento linear total \sum m_i X_i' é uma constante $A$.

Então $\sum m_i{X}_i=At+B$ para algum vetor fixo $B$ (todos os nossos resultados para funções com valores vetoriais seguem dos resultados para funções ordinárias considerando as componentes separadamente). Se fizermos $m=\sum m_i$ ser a massa total e $Y$ ser o vetor $\frac{1}{m}\sum m_i{X}_i=\sum \frac{m_i}{m}{X}_i$, temos

$$mY=At+B\cdot$$

O ponto $Y$ é chamado de centro de massa do sistema. Vemos que

Se $X(t)$ e $Y(t)$ são funções com valores vetoriais no espaço de dimensão 3, fica como exercício verificar que

(X \times Y)' = (X' \times Y) + (X \times Y').

Em particular,

(X \times X')' = (X' \times X') + (X \times X'') = X \times X'' \cdot.

Em um sistema fechado,

m_i X_i'' = \sum_{j=1}^N F_{ij},

e portanto

m_i(X_i \times X_i'') = X_i \times m_i X_i'' = \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) \cdot

Novamente, vamos somar sobre todas as partículas. Mostraremos que

\sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i'') = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) = 0 \cdot

Como quando mostramos que

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{F}_{ij}=0,$$

será suficiente mostrar que cada par de termos

$$X_i\times F_{ij}\text{e}{X}_j\times F_{ji}$$

se cancela quando $i\ne j$. Agora, $F_{ji}=-F_{ij},$ de modo que a soma desses dois é

$$(X_i-X_j)\times F_{ij}.$$

Pela III, isso é $0$. Assim, nossa afirmação está provada.
Mas

\sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i'') = \left( \sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i') \right)'

é a derivada do momento angular total (em torno de $0$). Portanto, concluímos que

(Fica como exercício o caso em que $0$ é substituído por qualquer outro ponto $P$.)

Agora, consideremos o caso com forças externas ${\overline{F}}_i$. Pelo fato de que a soma das forças internas é $0$, vemos que

\sum_{i=1}^N m_i X_i'' = \sum_{i=1}^N \bar{F}_i,

ou que

\left( \sum_{i=1}^N m_i X_i' \right)' = \sum_{i=1}^N \bar{F}_i \cdot

ou seja,

Como mY'' = \sum m_i X_i'', vemos que o centro de massa do sistema se move como uma partícula de massa $m$ sob a ação das forças externas totais.

Além disso,

m_i(X_i \times X_i'') = (X_i \times \bar{F}_i) + \sum_{j=1}^N (X_i \times F_{ij}) \cdot

Somando como antes,

\left( \sum_{i=1}^N m_i (X_i \times X_i') \right)' = \sum_{i=1}^N m_i(X_i \times X_i'') = \sum_{i=1}^N (X_i \times \bar{F}_i),

ou seja, a derivada do momento angular total é a soma dos momentos das forças externas.

Quando temos apenas uma partícula, todos os $F_{ij}=0$, e ${\overline{F}}_i$ é paralela a $X_i\cdot$ Assumimos que a origem é a fonte da força ${\overline{F}}_1\cdot$ Abandonamos os índices $i$ por serem desnecessários. Então (m(X \times X'))' = (X \times \bar{F}) = 0. Aplicado ao sistema solar com a suposição de que a única força não desprezível que atua sobre um planeta é a do sol, vemos que a derivada do momento angular de um planeta em torno do sol é $0$, ou seja, seu momento angular em torno do sol é uma constante. Esta é uma formulação da lei de Kepler de que um planeta varre área a uma taxa constante.