A Integral Definida

Seja $y=f(x)$ uma função contínua para $a\leqq x\leqq b$. Traçamos seu gráfico; por exemplo, ele poderia ser como mostrado na figura da página seguinte.

Agora definiremos um número que chamaremos de a integral (definida) de a a b de $f(x)$, e para a qual escrevemos

$${\int }_a^{b}f(x)dx,$$

da seguinte maneira:

Considere a área limitada pelo gráfico de $y=f(x)$, o eixo x, a reta $x=a$ e a reta $x=b$. Se uma parte dessa área está acima do eixo x, considerá-la-emos positiva. Se uma parte está abaixo do eixo x, considerá-la-emos negativa. Assim, temos a disposição de sinais mostrada no diagrama.

Então definimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

como sendo simplesmente a soma algébrica dessas áreas, tomadas com os sinais correspondentes.

Se $b\leqq a$, definimos

$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx,$$

pois

$${\int }_b^{a}f(x)dx$$

está então definido da maneira descrita acima. Em particular, temos

$${\int }_a^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{a}f(x)dx,$$

ou

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0.$$

Além disso, se $a,b,c$ são quaisquer números tais que $f(x)$ é contínua no menor intervalo que os contém todos, então

$${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx.$$

Se $a\leqq b\leqq c$, isso é óbvio a partir da definição. Deixa-se como exercício verificá-lo nos outros casos.

Agora suponha que $x$ está no intervalo $a\leqq t\leqq b$. Então

$${\int }_a^{x}f(t)dt$$

está definido, onde consideramos $x$ como fixo por enquanto, e denotamos nossa variável por $t$. Consideremos isso como uma função $F(x)$. Então o quociente das diferenças para $F(x)$ é

\begin{aligned} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} &= \frac{\displaystyle \int_{a}^{x+h} f(t)dt - \int_{a}^{x} f(t)dt}{h} \\ &= \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t)\,dt \end{aligned}

pela observação acima.

Agora seja $M$ o máximo de $f(t)$ no intervalo entre $x$ e $x+h$, e $m$ seu mínimo. Então afirmamos que, se ,

$$Mh\geqq {\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq mh,$$

ou

$$M\geqq \frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq m.$$

A primeira desigualdade é invertida se , mas a segunda ainda é válida. Mostraremos isso no caso em que . A ideia para os demais casos ficará então clara. Como $f(t)$ é contínua, podemos supor que $h$ é pequeno o suficiente para que para todo $t$ entre $x$ e $x+h$. Então nossa afirmação equivale a dizer que a área sob o gráfico de $f(t)$ entre $x$ e $x+h$ está entre a área de um retângulo de largura $h$ cuja altura é o menor valor de $f(t)$ nesse intervalo e a de um retângulo de largura $h$ e altura o valor máximo de $f(t)$ no intervalo, como mostrado no diagrama da página seguinte.

Mas como $f(t)$ é contínua em $x$, $f(t)$ se aproxima de $f(x)$ para todo $t$ entre $f(x)$ e $f(x+h)$, quando $h$ se aproxima de 0. Como $M$ e $m$ são valores de $f(t)$, eles também se aproximam de $f(x)$. Assim, temos

$$f(x)=\underset{h\to 0}{lim}M\geqq \underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt\geqq \underset{h\to 0}{lim}m=f(x);$$

mas então todos esses valores são iguais, e F'(x) = f(x).

Agora temos um procedimento para calcular

$${\int }_a^{b}f(t)dt.$$

Primeiro encontramos qualquer função $G(x)$ tal que G'(x) = f(x) para $a\leqq x\leqq b$; tal função é chamada de integral indefinida, ou antiderivada, de $f(x)$. Então sabemos que

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

tem a propriedade de que F'(x) = f(x) = G'(x). Portanto, $F(x)=G(x)+c$, onde $c$ é alguma constante. Mas $F(a)=0$, logo $c=-G(a)$. Então

$${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)=G(b)+c=G(b)-G(a).$$

Costumamos escrever isso simplesmente como

$${\int }_a^{b}f(x)dx=G(x){|}_a^b=G(b)-G(a).$$

Isso é conhecido como o teorema fundamental do cálculo.

O resultado nos permite resolver o problema de encontrar áreas, que ocupou os matemáticos gregos por séculos. Eles tinham algumas técnicas especiais que ampliarão a classe de funções que podemos tratar.

Nota. Mais uma vez temos uma operação linear; se $F(x)$ é uma integral indefinida de $f(x)$, e $G(x)$ uma de $g(x)$, então

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x),

ou seja, $F(x)+G(x)$ é uma integral indefinida de $f(x)+g(x)$. Da mesma forma, $cF(x)$ é uma integral indefinida de $cf(x)$. Para integrais definidas, com $F(x),f(x),G(x),g(x)$ e $c$ como acima, temos

\begin{aligned} \int_{a}^{b} (f(t) + g(t))dt &= (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\\[4pt] &= (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a)) \\[4pt] &= \int_{a}^{b} f(t)dt + \int_{a}^{b} g(t)\,dt \end{aligned}

e

\begin{aligned} \int_{a}^{b} cf(t)dt &= cF(b) - cF(a) \\ &= c(F(b) - F(a)) \\ &= c \int_a^{b} f(t)\,dt. \end{aligned}

Observe também que quaisquer duas integrais indefinidas de $f(x)$ diferem apenas por uma constante.

Exemplos

Examinando as regras de derivação, você verá que as integrais indefinidas abaixo estão corretas; escrevemos

$$\int f(x)dx=F(x)$$

para significar simplesmente que $F(x)$ é uma integral indefinida de $f(x)$, ou que F'(x) = f(x):

1. ${\displaystyle \int e^{x}dx=e^x;}$
2. ${\displaystyle \int \cos xdx=\sin x;}$
3. ${\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x;}$
4. ${\displaystyle \int {\sec }^{2}xdx=\tan x;}$
5. ${\displaystyle \int x^{b}dx=\frac{1}{b+1}{x}^{b+1},}$ $b$ um número racional positivo;
6. ${\displaystyle \int a^{x}dx=\frac{1}{\log a}\cdot a^x,}$

Nas regras 1) e 6), ainda estamos discutindo funções das quais não temos conhecimento real. Da mesma forma, poderíamos ter escrito

$$\int \frac{1}{x}dx=\log x,$$

mas isto e as regras acima devem ser considerados, por enquanto, apenas como informações úteis para desenvolver técnica. Na próxima seção, vamos definir $\log x$ em termos de uma integral.

Observe que, quando escrevemos

$${\int }_a^{b}f(x)dx,$$

a expressão não tem significado para nós, a menos que $f(x)$ esteja definida e seja contínua em todo o intervalo $a\le x\le b$. Assim,

$${\int }_0^4\frac{1}{x}dx$$

não está definida, assim como

$${\int }_{-1}^1\sqrt{x}dx.$$

A integral definida pode ser definida de tal forma que mais funções caiam em seu domínio (embora nenhuma dessas duas caia), mas não iremos nos aprofundar nessa questão.

Exercícios