A Função log x

Seja . Então a função $f(t)=\frac{1}{t}$ está definida e é contínua no intervalo entre $t=1$ e $t=x$. Definimos uma função para , que chamaremos de $\log x$, por

$$\log x={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$$

Obviamente, esta função tem uma propriedade que atribuímos àquela função bastante indefinida que escrevemos anteriormente como $\log x$: a saber, (\log x)' = \frac{1}{x}. A próxima propriedade básica que provamos é

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

Mas, para qualquer $a$ fixo, considere $\log (ax)$ como uma função de $x$. Então

(\log (ax))' = \frac{1}{ax} \cdot a = \frac{1}{x} = (\log x)'

Portanto $\log (ax)=\log x+c$, $c$ alguma constante. Para $x=1$, temos

$$\log a=\log 1+c$$

Como

$$\log 1=0(={\int }_1^1\frac{1}{t}dt),$$

$c=\log a$, e $\log (ax)=\log x+\log a$. Isso é o que desejávamos provar.

Agora seja ; então $\log a\leqq a-1$, pois esta é a área do retângulo maior na figura abaixo.

O retângulo menor tem área $(a-1)\cdot \frac{1}{a}\leqq \log a$. Assim, temos para ,

$$a-1\geqq \log a\geqq \frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}.$$

Esta é uma igualdade quando $a=1$, de modo que é verdadeira sempre que $a\geqq 1$. Agora, se , então , e temos

$$\frac{1}{a}-1\geqq \log \frac{1}{a}\geqq 1-\frac{1}{1/a}$$

pelos itens acima. Agora

$$\log a+\log \frac{1}{a}=\log 1=0,$$

logo

$$\log \frac{1}{a}=-\log a.$$

Isso nos dá

$$\frac{1}{a}-1\geqq -\log a\geqq 1-a,$$

ou, invertendo os sinais,

\tag{*} a - 1 \geqq \log a \geqq 1 - \frac{1}{a}

Assim, provamos a desigualdade (*) para todo .

Use esta desigualdade

Vamos usar esta desigualdade para derivar algumas propriedades de $\log x$.
Usando $a=1+\frac{1}{n}$, $n$ um inteiro positivo, encontramos

$$\frac{1}{n}\geqq \log (1+\frac{1}{n})\geqq 1-\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$$

Como $n(\log a)=\log (a^n)$ (prove por indução), temos

$$1=\frac{n}{n}\geqq n\log (1+\frac{1}{n})=\log (1+\frac{1}{n}{)}^n\geqq \frac{n}{n+1}\cdot$$

Agora, quando $n$ se torna grande, $\frac{n}{n+1}$ se aproxima de $1$. Portanto, $\log (1+\frac{1}{n}{)}^n$ está entre $1$ e uma quantidade que se aproxima de $1$, e, portanto, deve ele próprio se aproximar de $1$. Escrevemos isso como

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\log {(1+\frac{1}{n})}^n=1.$$

Em seguida, considere a expressão $\log (2^n)=n\log 2\geqq n(1-\frac{1}{2})=\frac{n}{2}$. Quando $n$ se torna grande, $\frac{n}{2}$ também se torna grande e, consequentemente, $\log (2^n)$ se torna tão grande quanto desejarmos. Da mesma forma, $\log (2^{-n})\leqq -\frac{n}{2}$ e, quando $n$ se torna arbitrariamente grande, $\log (2^{-n})$ se torna arbitrariamente pequeno (ou seja, muito negativo). Assim, vemos que $\log x$ assume valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos.

$\log x$ é contínua em todo , pois é derivável. Além disso, é estritamente crescente. Se , é claro que . Se , então a área sob $y=1/x$ de $1$ a $x_1$ é evidentemente menor do que a de $1$ a $x_2$, de modo que novamente . Finalmente, se , a área de $x_1$ a $1$ é maior do que a de $x_2$ a $1$; mas os logaritmos são essas áreas tomadas com sinal negativo, o que dá mais uma vez . Assim, provamos a afirmação.