Projeções perpendiculares

Estamos agora em posição de cumprir nossa promessa anterior de investigar as projeções associadas com as decomposições de soma direta particular $𝒱 = ℳ \oplus ℳ^{⟂}$ . Chamaremos tal projeção de projeção perpendicular . Como $ℳ^{⟂}$ é univocamente determinado pelo subespaço $ℳ$ , não precisamos especificar ambas as componentes diretas associadas com uma projeção se já sabemos que é perpendicular. Chamaremos a (perpendicular) projeção $E$ em $ℳ$ ao longo de $ℳ^{⟂}$ simplesmente a projeção em $ℳ$ e escreveremos $E = P_{ℳ}$ .

Teorema 1. Uma transformação linear $E$ é uma projeção perpendicular se e somente se $E = E^{2} = E^{*}$ . Projeções perpendiculares são transformações lineares positivas e têm a propriedade de que $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ para todos $x$ .

Demonstração. Se $E$ é uma projeção perpendicular, então a Seção: Adjuntos de projeções , Teorema 1 e o teorema da Seção: Dual de uma soma direta mostram (depois, é claro, das substituições usuais, como $ℳ^{⟂}$ por $ℳ^{0}$ e $A^{*}$ por ) que $E = E^{*}$ . Conversamente, se $E = E^{2} = E^{*}$ , então a idempotência de $E$ nos assegura que $E$ é a projeção em $ℛ$ ao longo de $𝒩$ , onde, é claro, $ℛ = ℛ (E)$ e $𝒩 = 𝒩 (E)$ são o contradomínio e o núcleo de $E$ , respectivamente. Daí precisamos apenas mostrar que $ℛ$ e $𝒩$ são ortogonais. Para este propósito seja $x$ qualquer elemento de $ℛ$ e $y$ qualquer elemento de $𝒩$ ; o resultado desejado segue da relação $(x, y) = (E x, y) = (x, E^{*} y) = (x, E y) = 0.$ O caráter positivo de um $E$ satisfazendo $E = E^{2} = E^{*}$ segue de Aplicando esse resultado à projeção perpendicular $1 - E$ , vemos que isso conclui a demonstração do teorema. ◻

Para algumas das generalizações de nossa teoria é útil saber que a idempotência junto com a última propriedade mencionada no Teorema 1 também é característica de projeções perpendiculares.

Teorema 2. Se uma transformação linear $E$ é tal que $E = E^{2}$ e $‖ E x ‖ \leq ‖ x ‖$ para todos $x$ , então $E = E^{*}$ .

Demonstração. Devemos mostrar que o contradomínio $ℛ$ e o núcleo $𝒩$ de $E$ são ortogonais. Se $x$ está em $𝒩^{⟂}$ , então $y = E x - x$ está em $𝒩$ , pois $E y = E^{2} x - E x = E x - E x = 0.$ Daí $E x = x + y$ com $(x, y) = 0$ , de modo que $‖ x ‖^{2} \geq ‖ E x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2} + ‖ y ‖^{2} \geq ‖ x ‖^{2},$ e portanto $y = 0$ . Consequentemente $E x = x$ , de modo que $x$ está em $ℛ$ ; isso prova que $𝒩^{⟂} \subset ℛ$ . Conversamente, se $z$ está em $ℛ$ , de modo que $E z = z$ , escrevemos $z = x + y$ com $x$ em $𝒩^{⟂}$ e $y$ em $𝒩$ . Então $z = E z = E x + E y = E x = x .$ (A razão para a última igualdade é que $x$ está em $𝒩^{⟂}$ e portanto em $ℛ$ .) Daí $z$ está em $𝒩^{⟂}$ , de modo que $ℛ \subset 𝒩^{⟂}$ , e portanto $ℛ = 𝒩^{⟂}$ . ◻

Precisaremos também do fato de que o teorema da Seção: Combinações de projeções permanece verdadeiro se a palavra "projeção" é qualificada em todo lugar por "perpendicular". Isso é uma consequência imediata da caracterização anterior de projeções perpendiculares e do fato de que somas e diferenças de transformações autoadjuntas são autoadjuntas, enquanto o produto de duas transformações autoadjuntas é autoadjunto se e somente se comutam. Pelos nossos presentes métodos geométricos é também bem fácil generalizar a parte do teorema que lida com somas de dois somandos para qualquer número finito. A generalização é mais convenientemente enunciada em termos do conceito de ortogonalidade para projeções; diremos que duas (perpendiculares) projeções $E$ e $F$ são ortogonais se $E F = 0$ . (Consideração de adjuntos mostra que isso é equivalente a $F E = 0$ .) O seguinte teorema mostra que a linguagem geométrica é justificada.

Teorema 3. Duas projeções perpendiculares $E = P_{ℳ}$ e $F = P_{𝒩}$ são ortogonais se e somente se os subespaços $ℳ$ e $𝒩$ (isto é, os contradomínios de $E$ e $F$ ) são ortogonais.

Demonstração. Se $E F = 0$ , e se $x$ e $y$ estão nos contradomínios de $E$ e $F$ respectivamente, então $(x, y) = (E x, F y) = (x, E^{*} F y) = (x, E F y) = 0.$ Se, conversamente, $ℳ$ e $𝒩$ são ortogonais (de modo que $𝒩 \subset ℳ^{⟂}$ ), então o fato de que $E x = 0$ para $x$ em $ℳ^{⟂}$ implica que $E F x = 0$ para todos $x$ (pois $F x$ está em $𝒩$ e consequentemente em $ℳ^{⟂}$ ). ◻