Isometrias

Continuamos com nosso programa de investigar a analogia entre números e transformações. Quando um número complexo $ζ$ tem valor absoluto um? Claramente uma condição necessária e suficiente é que $\bar{ζ} = 1 / ζ$ ; guiados por nosso princípio heurístico, somos levados a considerar transformações lineares $U$ para as quais $U^{*} = U^{- 1}$ , ou, equivalentemente, para as quais $U U^{*} = U^{*} U = 1$ . (Observamos que em um espaço vetorial de dimensão finita qualquer uma das duas condições $U U^{*} = 1$ e $U^{*} U = 1$ implica a outra; veja Seção: Inversos , Teoremas 1 e 2.) Tais transformações são chamadas ortogonais ou unitárias segundo o espaço com produto interno subjacente seja real ou complexo. Procedemos a derivar um par de caracterizações alternativas úteis delas.

Teorema 1. As três condições seguintes em uma transformação linear $U$ em um espaço com produto interno são equivalentes entre si.

Demonstração. Se (1) vale, então $(U x, U y) = (U^{*} U x, y) = (x, y)$ para todos $x$ e $y$ , e, em particular, $‖ U x ‖^{2} = ‖ x ‖^{2}$ para todos $x$ ; isso prova ambas as implicações (1) $⟹$ (2) e (2) $⟹$ (3). A demonstração pode ser completada mostrando que (3) implica (1). Se (3) vale, isto é, se $(U^{*} U x, x) = (x, x)$ para todos $x$ , então a Seção: Polarização , Teorema 2 é aplicável à transformação (autoadjunta) $U^{*} U - 1$ ; a conclusão é que $U^{*} U = 1$ (como desejado). ◻

Como (3) implica que para todos $x$ e $y$ (a implicação recíproca (4) $⟹$ (3) também é verdadeira e trivial), vemos que transformações do tipo com que o teorema lida são caracterizadas pelo fato de que preservam distâncias. Por essa razão chamaremos tal transformação uma isometria . Como, já observamos, uma isometria em um espaço de dimensão finita é necessariamente ortogonal ou unitária (segundo o espaço seja real ou complexo), o uso dessa terminologia nos permitirá tratar os casos real e complexo simultaneamente. Observamos que (em um espaço de dimensão finita) uma isometria é sempre invertível e que $U^{- 1}$ ( $= U^{*}$ ) é uma isometria junto com $U$ .

Em qualquer sistema algébrico, e em particular em espaços vetoriais gerais e espaços com produto interno, é de interesse considerar os automorfismos do sistema, isto é, considerar aqueles mapeamentos injetores do sistema nele mesmo que preservam todas as relações estruturais entre seus elementos. Já vimos que os automorfismos de um espaço vetorial geral são as transformações lineares invertíveis. Em um espaço com produto interno exigimos mais de um automorfismo, a saber, que também preserve produtos internos (e consequentemente comprimentos e distâncias). O teorema anterior mostra que esse requisito é equivalente à condição de que a transformação seja uma isometria. (Estamos assumindo dimensionalidade finita aqui; em espaços de dimensão infinita o contradomínio de uma isometria não precisa ser o espaço inteiro. Esse sacrifício desimportante em generalidade é por conveniência terminológica; para espaços de dimensão infinita não há uma palavra comumente usada que descreva transformações ortogonais e unitárias simultaneamente.) Assim as duas questões "Quais transformações lineares são os análogos de números complexos de valor absoluto um?" e "Quais são os automorfismos mais gerais de um espaço com produto interno de dimensão finita?" têm a mesma resposta: isometrias. Na próxima seção mostraremos que isometrias também fornecem a resposta a uma terceira questão importante.