Polarização

Antes de continuarmos com o programa de estudar as analogias entre números complexos e transformações lineares, tomamos tempo para recolher alguns resultados auxiliares importantes sobre espaços com produto interno.

Teorema 1. Uma condição necessária e suficiente para que uma transformação linear $A$ em um espaço com produto interno seja $0$ é que $(A x, y) = 0$ para todos $x$ e $y$ .

Demonstração. A necessidade da condição é óbvia; a suficiência segue de colocar $y$ igual a $A x$ . ◻

Teorema 2. Uma condição necessária e suficiente para que uma transformação linear autoadjunta $A$ em um espaço com produto interno $A$ seja $0$ é que $(A x, x) = 0$ para todos $x$ .

Demonstração. A necessidade é óbvia. A demonstração da suficiência começa verificando a identidade

(Expanda o primeiro termo no lado direito.) Como $A$ é autoadjunta, o lado esquerdo dessa equação é igual a $2 Re (A x, y)$ . A condição pressuposta implica que o lado direito se anula, e portanto que $Re (A x, y) = 0$ . Neste ponto é necessário dividir a demonstração em dois casos. Se o espaço com produto interno é real (isto é, $A$ é simétrica), então $(A x, y)$ é real, e portanto $(A x, y) = 0$ . Se o espaço com produto interno é complexo (isto é, $A$ é hermitiana), então encontramos um número complexo $θ$ tal que $| θ | = 1$ e $θ (A x, y) = | (A x, y) |$ . (Aqui $x$ e $y$ são temporariamente fixos.) O resultado que já temos, aplicado a $θ x$ em lugar de $x$ , fornece Em qualquer caso, portanto, $(A x, y) = 0$ para todos $x$ e $y$ , e o resultado desejado segue do Teorema 1. ◻

É útil indagar o quanto é importante a autoadjuntidade de $A$ no Teorema 2; a resposta é que no caso complexo ela não é importante de jeito nenhum.

Teorema 3. Uma condição necessária e suficiente para que uma transformação linear $A$ em um espaço unitário seja $0$ é que $(A x, x) = 0$ para todos $x$ .

Demonstração. Como antes, a necessidade é óbvia. Para a demonstração da suficiência usamos a chamada identidade de polarização :

(Assim como para (1), a demonstração consiste em expandir o primeiro termo no lado direito.) Se $(A x, x)$ é identicamente zero, então obtemos, primeiro escolhendo $α = β = 1$ , e então $α = i$ ( $= \sqrt{- 1}$ ), $β = 1$ Dividindo a segunda dessas duas equações por $i$ e então formando sua média aritmética, vemos que $(A x, y) = 0$ para todos $x$ e $y$ , de modo que, pelo Teorema 1, $A = 0$ . ◻

Esse processo de polarização é frequentemente usado para obter informações sobre a "forma bilinear" $(A x, y)$ quando apenas o conhecimento da "forma quadrática" $(A x, x)$ é pressuposto.

É importante observar que, apesar de sua aparente inocência, o Teorema 3 faz uso muito essencial do sistema de números complexos; ele e muitas de suas consequências não são verdadeiros para espaços com produto interno reais. A demonstração, é claro, quebra em nossa escolha de $α = \sqrt{- 1}$ . Para um exemplo, considere uma rotação de $90^{\circ}$ do plano; ela claramente tem a propriedade de enviar cada vetor $x$ para um vetor ortogonal a $x$ .

Vimos que transformações hermitianas desempenham o mesmo papel que números reais; o teorema seguinte indica que elas estão vinculadas ao conceito de realidade de formas mais profundas do que através da analogia formal que sugeriu sua definição.

Teorema 4. Uma condição necessária e suficiente para que uma transformação linear $A$ em um espaço unitário seja hermitiana é que $(A x, x)$ seja real para todos $x$ .

Demonstração. Se $A = A^{*}$ , então $(A x, x) = (x, A^{*} x) = (x, A x) = \overset{―}{(A x, x)},$ de modo que $(A x, x)$ é igual ao seu conjugado e é portanto real. Se, por outro lado, $(A x, x)$ é sempre real, então $(A x, x) = \overset{―}{(A x, x)} = (x, A^{*} x) = (A^{*} x, x),$ de modo que $([A - A^{*}] x, x) = 0$ para todos $x$ , e, pelo Teorema 3, $A = A^{*}$ . ◻

O Teorema 4 é falso para espaços com produto interno reais. Isso é esperado, pois, em primeiro lugar, sua demonstração depende de um teorema que é verdadeiro apenas para espaços unitários, e, em segundo lugar, em um espaço real a realidade de $(A x, x)$ é automática, enquanto a identidade $(A x, y) = (x, A y)$ não é necessariamente satisfeita.