Transformações autoadjuntas

Transformações autoadjuntas

Estudemos agora a estrutura algébrica da classe de todas as transformações lineares em um espaço com produto interno $𝒱$ . Em muitos aspectos fundamentais essa classe se assemelha à classe de todos os números complexos. Em ambos os sistemas, noções de adição, multiplicação, $0$ e $1$ são definidas e têm propriedades semelhantes, e em ambos os sistemas há um anti-automorfismo involutório do sistema em si mesmo (a saber, $A\to A^{\ast }$ e $\zeta \to \overline{\zeta }$ ). Usaremos essa analogia como um princípio heurístico, e tentaremos transferir para transformações lineares alguns conceitos bem conhecidos do domínio complexo. Seremos impedidos nesse trabalho por duas dificuldades na teoria de transformações lineares, das quais, possivelmente surpreendentemente, a segunda é muito mais séria; elas são a impossibilidade de divisão irrestrita e a não-comutatividade de transformações lineares gerais.

Os três subconjuntos mais importantes do plano de números complexos são o conjunto de números reais, o conjunto de números reais positivos e o conjunto de números de valor absoluto um. Procederemos agora sistematicamente para usar nossa analogia heurística de transformações com números complexos, e tentar descobrir os análogos entre transformações desses conceitos numéricos bem conhecidos.

Quando um número complexo é real? Claramente uma condição necessária e suficiente para a realidade de $\zeta$ é a validade da equação $\zeta =\overline{\zeta }$ . Poderíamos assim definir (lembrando que o análogo do conjugado complexo para transformações lineares é o adjunto) uma transformação linear $A$ como real se $A=A^{\ast }$ . Mais comumente, transformações lineares $A$ para as quais $A=A^{\ast }$ são chamadas autoadjuntas ; em espaços com produto interno reais, a palavra usual é simétrica , e, em espaços com produto interno complexos, hermitiana . Veremos que transformações autoadjuntas realmente desempenham o mesmo papel que números reais.

É bastante fácil caracterizar a matriz de uma transformação autoadjunta com respeito a uma base ortonormal $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ . Se a matriz de $A$ é $({\alpha }_{ij})$ , então sabemos que a matriz de $A^{\ast }$ com respeito à base dual de $𝒳$ é $({\alpha }_{ij}^{\ast })$ , onde ${\alpha }_{ij}^{\ast }=\overline{{\alpha }_{ji}}$ ; como uma base ortonormal é auto-dual e como $A=A^{\ast }$ , temos $${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}.$$ Deixamos para o leitor verificar o recíproco: se definimos uma transformação linear $A$ por meio de uma matriz $({\alpha }_{ij})$ e um sistema de coordenadas ortonormal arbitrário $𝒳=\{x_1,\dots ,x_n\}$ , via as equações usuais

e se a matriz $({\alpha }_{ij})$ é tal que ${\alpha }_{ij}=\overline{{\alpha }_{ji}}$ , então $A$ é autoadjunta.

As regras algébricas para a manipulação de transformações autoadjuntas são fáceis de lembrar se pensarmos em tais transformações como análogos de números reais. Assim, se $A$ e $B$ são autoadjuntas, então também é $A+B$ ; se $A$ é autoadjunta e diferente de $0$ , e se $\alpha$ é um escalar não nulo, então uma condição necessária e suficiente para que $\alpha A$ seja autoadjunta é que $\alpha$ seja real; e se $A$ é invertível, então ambas ou nenhuma de $A$ e $A^{-1}$ são autoadjuntas. O lugar onde algo sempre dá errado é na multiplicação; o produto de duas transformações autoadjuntas não precisa ser autoadjunto. Os fatos positivos sobre produtos são dados pelos dois teoremas seguintes.

Um número complexo $\zeta$ é puramente imaginário se e somente se $\overline{\zeta }=-\zeta$ . O conceito correspondente para transformações lineares é identificado pela palavra anti-simétrica ; se uma transformação linear $A$ em um espaço com produto interno é tal que $A^{\ast }=-A$ , então $A$ é chamada anti-simétrica ou anti-hermitiana segundo o espaço seja real ou complexo. Aqui está alguma evidência da natureza abrangente de nossa analogia entre números complexos e transformações lineares: uma transformação linear arbitrária $A$ pode ser expressa, de um e apenas um modo, na forma $A=B+C$ , onde $B$ é autoadjunta e $C$ é anti-simétrica. (A representação de $A$ nessa forma é às vezes chamada a decomposição cartesiana de $A$ .) De fato, se escrevemos então temos $B^{\ast }=\frac{A^{\ast }+A}{2}=B$ e $C^{\ast }=\frac{A^{\ast }-A}{2}=-C$ , e, é claro, $A=B+C$ . Dessa demonstração da existência da decomposição cartesiana, sua unicidade também é clara; se temos $A=B+C$ , então $A^{\ast }=B-C$ , e, consequentemente, $A$ , $B$ , e $C$ estão novamente conectadas por (1) e (2).

No caso complexo há um modo simples de obter transformações anti-hermitianas de hermitianas, e vice-versa: apenas multiplique por $i$ ( $=\sqrt{-1}$ ). Segue-se que, no caso complexo, toda transformação linear $A$ tem uma representação única na forma $A=B+iC$ , onde $B$ e $C$ são hermitianas. Nos referiremos a $B$ e $C$ como as partes real e imaginária de $A$ .

EXERCÍCIOS